궤도역학 에서 편심 이각 (영어 : eccentric anomaly )은 타원 케플러 궤도 를 따라 움직이는 물체의 위치를 결정하는 궤도 요소 이다. 편심 이각은 진근점 이각 , 평균 근점 이각 과 함께 궤도에서의 물체의 위치를 설명하는 각 변수이다.
물체의 위치 P 와 편심 이각 E 를 나타낸 그림. 타원의 중심은 C 로, 타원의 초점은 F 로 표시되어 있다.
타원을 다음과 같은 방정식으로 생각하자.
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
a 는 궤도 긴반지름 이고, b 는 짧은반지름 이다.
타원의 어떠한 점 P = P (x , y )에 대한 편심 이각에 대항하는 각 E 가 오른쪽의 그림에 나와 있다. 편심 이각 E 는 타원의 중심에 꼭짓점 하나를 찍고 빗변 a (궤도 긴반지름과 같다)를 그은 다음, 긴반지름 빗변과 수직하면서 P 에 닿도록 선분을 그어 만들어진 직각삼각형을 통해 관찰할 수 있다. 편심 이각은 진근점 이각과 같은 방향에서 측정되며, 그림에는 f 로서 표시되어 있다.
위의 직각삼각형에서 편심 이각 E 와 관련된 좌표는 다음과 같이 주어진다.[ 1]
cos
E
=
x
a
{\displaystyle \cos E={\frac {x}{a}}}
sin
E
=
y
b
{\displaystyle \sin E={\frac {y}{b}}}
둘 사이의 관계를 통해 다음과 같은 식이 산출된다.
(
y
b
)
2
=
1
−
cos
2
E
=
sin
2
E
{\displaystyle {\left({\frac {y}{b}}\right)}^{2}=1-{\cos }^{2}E={\sin }^{2}E}
이는 sin E = ±y / b 임을 드러낸다. 이 때 sin E = −y / b 는 타원을 반대 방향으로 돌 경우이므로 가능한 해에서 제외된다.
이심률 e 는 다음과 같이 정의된다.
e
=
1
−
(
b
a
)
2
{\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\ }
피타고라스의 정리 에 따라, r (FP )을 빗변으로 볼 경우 다음이 성립한다.
r
2
=
b
2
sin
2
E
+
(
a
e
−
a
cos
E
)
2
=
a
2
(
1
−
e
2
)
(
1
−
cos
2
E
)
+
a
2
(
e
2
−
2
e
cos
E
+
cos
2
E
)
=
a
2
−
2
a
2
e
cos
E
+
a
2
e
2
cos
2
E
=
a
2
(
1
−
e
cos
E
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}(1-e^{2})(1-\cos ^{2}E)+a^{2}(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}(1-e\cos E)^{2}\\\end{aligned}}}
따라서, 반지름(P 와 초점 사이의 거리)과 편심 이각의 관계는 다음 공식과 같다.
r
=
a
(
1
−
e
cos
E
)
{\displaystyle r=a\left(1-e\cos {E}\right)}
이 결과를 통해, 후술되듯 편심 이각은 진근점 이각으로부터 정의될 수 있다.
진근점 이각 은 위의 그림에 f 로 표시되어 있는 각도이고, θ 로 표기된다. 편심 이각과 진근점 이각은 밑에 보여지는 것과 같은 관계가 있다.[ 2]
위에서 유도하였던 r 에 대한 방정식을 사용하여, E 의 사인과 코사인 값은 θ 로 표현될 수 있다.
cos
E
=
x
a
=
a
e
+
r
cos
θ
a
=
e
+
(
1
−
e
cos
E
)
cos
θ
→
cos
E
=
e
+
cos
θ
1
+
e
cos
θ
sin
E
=
1
−
cos
2
E
=
1
−
e
2
sin
θ
1
+
e
cos
θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos E&={\frac {x}{a}}={\frac {ae+r\cos \theta }{a}}=e+(1-e\cos E)\cos \theta \ \to \ \cos E={\frac {e+\cos \theta }{1+e\cos \theta }}\\\sin E&={\sqrt {1-\cos ^{2}E}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\,\sin \theta }{1+e\cos \theta }}\ .\end{aligned}}}
따라서,
tan
E
=
sin
E
cos
E
=
1
−
e
2
sin
θ
e
+
cos
θ
{\displaystyle \tan E={\frac {\sin E}{\cos E}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta }{e+\cos \theta }}\ }
따라서 각도 E 는 빗변의 길이가 1 + e cos θ , 인접변의 길이가 e + cos θ , 그리고 반댓변의 길이가 √1 − e 2 sin θ 인 직각삼각형의 각도이다.
또한,
tan
θ
2
=
1
+
e
1
−
e
⋅
tan
E
2
{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}}
위의 r 에 대한 방정식처럼 cos E 를 빼면 반지름을 진근점 이각을 통해서 구할 수 있다.[ 2]
r
=
a
(
1
−
e
2
)
1
+
e
cos
θ
{\displaystyle r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \theta }}}
편심 이각 E 는 케플러 방정식에 따라 평균 근점 이각 M 과도 관계가 있다.[ 3]
M
=
E
−
e
sin
E
{\displaystyle M=E-e\sin E}
이 식은 M 에 대한 E 의 폐형 해를 가지지 않고, 보통 뉴턴 방법 등을 통해 푼다.
참조
Murray, Carl D.; & Dermott, Stanley F. (1999); Solar System Dynamics , Cambridge University Press, Cambridge, GB
Plummer, Henry C. K. (1960); An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy , Dover Publications, New York, NY (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition)