S-이중성

이론물리학에서 S-이중성(S-二重性, S-duality)은 서로 다른 듯한 두 물리 이론이 결합 상수의 역수를 취하는 변환에 의하여 서로 동등한 현상이다. 즉, 결합 상수가 작은 한 이론은 결합 상수가 큰 다른 이론과 동등하게 된다. 양자장론과 끈 이론에서 나타난다.

양자장론의 S-이중성

양자장론에서는 여러 가지의 S-이중성을 찾을 수 있다. 이들은 대부분 일종의 초대칭을 가정하며, 궁극적으로 초끈 이론의 S-이중성에서 비롯된다.

전기-자기 이중성

S-이중성의 가장 기본적인 형태는 맥스웰 방정식의 전기-자기 이중성(電氣磁氣二重性, electric–magnetic duality)이다. 대전 입자를 포함하지 않는 맥스웰 방정식은 전기장과 자기장을 치환하여도 동등하다. 여기에 전기적으로 대전된 입자만 추가하면 전기-자기 이중성이 깨지지만, 자기적으로 대전된 입자도 추가하면 다시 전기-자기 이중성이 성립한다. 여기서 전기적으로만 대전된 입자는 전기 홀극, 자기적으로만 대전된 입자는 자기 홀극, 전기와 자기 둘 다 대전된 입자를 다이온이라고 한다.

부호수가 ${\displaystyle (p,4-p)}$인 4차원 다양체 ${\displaystyle M}$를 생각하자. 그 가운데 호몰로지 ${\displaystyle H^{2}(M)}$에 다음과 같은 연산자 ${\displaystyle N_{\tau }\colon H^{2}(M;\mathbb {C} )\to H^{2}(M;\mathbb {C} )}$를 정의하자.

${\displaystyle N_{\tau }=\operatorname {Re} \tau +s*\operatorname {Im} \tau }$

여기서 ${\displaystyle p\equiv 0{\pmod {2}}}$인 경우 ${\displaystyle s=i}$, 그렇지 않은 경우 ${\displaystyle s=1}$로 놓는다. 이 경우, ${\displaystyle (s*)^{2}=-1}$이므로, ${\displaystyle N_{\tau }}$의 역은

${\displaystyle (N_{\tau })^{-1}=N_{1/\tau }}$

이다. 즉, 이러한 꼴의 연산자는 단순히 복소수로 생각할 수 있다.

U(1) 게이지 이론은 다음과 같이 기술할 수 있다. U(1) 접속의 곡률을 ${\displaystyle F}$라고 하자. 이는 선다발의 천 특성류와 같다.

${\displaystyle c_{1}=[F/2\pi ]\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$

게이지 이론의 작용을 다음과 같이 적자.

${\displaystyle S_{\tau }={\frac {1}{4\pi }}\int _{M}F\wedge N_{\tau }F}$

통상적으로, 그 성분들은

${\displaystyle \tau =\theta /2\pi +4\pi i/g^{2}}$

으로 적는다. 여기서

• ${\displaystyle g}$는 결합 상수
• ${\displaystyle \theta }$는 CP 위반 각

이다. 즉, 텐서 표기법으로 쓰면

${\displaystyle S=\int _{M}{\sqrt {|\det g|}}\,\left({\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\theta }{32\pi ^{2}}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\right)}$

이다. 이 작용은

${\displaystyle F\mapsto F_{D}={\frac {\delta S}{\delta F}}=N_{\tau }F}$

${\displaystyle \tau \mapsto -1/\tau }$

에 대하여 불변이다. 이는 고전 전자기학의 전기-자기 이중성이다.

이 이론을 양자화하게 되면, 그 경로 적분은

${\displaystyle Z=\int DA\,\exp(iS)}$

이다. 이 경우, ${\displaystyle [F/2\pi ]\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$이므로,

${\displaystyle S_{\tau +1}-S_{\tau }=(\theta /2)\int _{M}(F/2\pi )\wedge (F/2\pi )}$

이다. 만약 ${\displaystyle M}$이 스핀 다양체라면, 2차 미분형식의 교차 형식(intersection form)은 짝수이므로, 항상 ${\displaystyle \int _{M}(F/2\pi )^{2}}$는 짝수다. 따라서

${\displaystyle S_{\tau +1}-S_{\tau }\in \mathbb {Z} }$

이고, 이 경우 경로 적분에 등장하는 ${\displaystyle \exp(iS)}$는 불변이다. 즉, 양자역학적으로

${\displaystyle \tau \mapsto \tau +1}$

또한 대칭이다. 이들을 합성하면 모듈러 군

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}}$ (${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}$

을 이루게 된다. 유클리드 계량 부호수의 경우, 이는 구체적으로 경로 적분을 계산해 확인할 수 있다. 맥스웰 방정식을 만족시키는 장세기 ${\displaystyle F}$는

${\displaystyle dF=d*F=0}$

이므로 조화형식(harmonic form)을 이루며, 이는 호지 이론에 따라 코호몰로지류 ${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {R} )}$에 대응한다. 유클리드 계량 부호수에서는 2차 형식에 대한 호지 쌍대가 ${\displaystyle *^{2}=1}$이므로, 호지 쌍대의 고윳값에 따라 임의의 장세기를

${\displaystyle F=2\pi (p_{+}+p_{-})}$

${\displaystyle *F=2\pi (p_{+}+-p_{-})}$

${\displaystyle p_{\pm }\in H_{\pm }^{2}(M;\mathbb {Z} )}$

로 분해할 수 있다. 그렇다면

${\displaystyle N_{\tau }F=2\pi (\tau p_{+}+{\bar {\tau }}p_{-})}$

이다. 따라서 작용은

${\displaystyle S=\pi \left(\tau \langle p_{+},p_{+}\rangle -{\bar {\tau }}\langle p_{-},p_{-}\rangle \right)}$

가 된다. 따라서, 경로 적분은 다음과 같다.^{[1][2][3]:89–91}

${\displaystyle Z(\tau )\sim \sum _{p_{+}\in H_{+}^{2}(M;\mathbb {Z} )}q^{p_{+}^{2}/2}\sum _{p_{-}\in H_{-}^{2}(M;\mathbb {Z} )}{\bar {q}}^{p_{-}^{2}/2}}$ (${\displaystyle q=\exp(2\pi i\tau )}$)

이는 서로 다른 선다발들의 합만 고려한 것이다. 여기에 유한 에너지 모드들의 기여를 고려하면, 각 모드의 에너지는 ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau =1/g^{2}}$에 비례하며, 경로 적분에는 (에너지 연산자의 행렬식의 제곱근이므로) 각 모드가 ${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {Im} \tau }}}$를 기여한다. 이 인자는 경로 적분의 측도를 국소적으로 재정의해 없앨 수 있다. 그러나 게이지 고정을 할 경우 상수 게이지 변환은 진동 모드에 영향을 미치지 않으므로 ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau )^{-1/2}}$를 곱해야 하고, 또한 ${\displaystyle b_{1}}$ (1차 베티 수) 개의 영에너지 모드는 게이지 변환에 영향을 받지 않으므로 이들은 ${\displaystyle (\operatorname {Im} \tau )^{b_{1}/2}}$를 기여한다. 즉, 총 경로 적분은 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle Z(\tau )\sim (\operatorname {Im} \tau )^{(b_{1}-1)/2}\sum _{p_{+}\in H_{+}^{2}(M;\mathbb {Z} )}q^{p_{+}^{2}/2}\sum _{p_{-}\in H_{-}^{2}(M;\mathbb {Z} )}{\bar {q}}^{p_{-}^{2}/2}}$

이는 세타 함수의 일종이며, 이는 무게가

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\chi -\sigma ,\chi +\sigma )}$

인 (비정칙) 모듈러 형식이다. 여기서 ${\displaystyle \chi }$는 ${\displaystyle M}$의 오일러 지표이고, ${\displaystyle \chi =b_{2}^{+}-b_{2}^{-}}$는 교차 형식의 부호수이다. 무게가 0이 아닌 경우에는 고전적인 모듈러 군 대칭에 변칙이 생기는 것을 알 수 있다.

몬토넨-올리브 이중성

 이 부분의 본문은 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론입니다.

4차원에서, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초대칭을 갖는 비가환 양-밀스 이론에서도 일종의 S-이중성이 성립하는데, 이를 몬토넨-올리브 이중성(Montonen–Olive duality)이라고 한다.^[4][5][6] 이는 클라우스 몬토넨(핀란드어: Claus Montonen)과 데이비드 이언 올리브(David Ian Olive)가 1977년 발견하였다.^[7]

몬토넨-올리브 이중성은 ⅡB종 초끈 이론으로 설명할 수 있다.^{[8][9]:186–187} ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ ${\displaystyle U(N)}$ 양-밀스 이론은 ${\displaystyle N}$개의 겹친 D3-막들 위에 존재하는 유효 이론이다. D3-막에는 기본 끈(F-끈)과 D1-막(D-끈)이 붙어 있는데, F-끈의 끝은 전기 홀극, D-끈의 끝은 자기 홀극을 이룬다. ⅡB종 초끈 이론에서는 S-이중성은 F-끈과 D-끈을 맞바꾸게 되고, 이 이중성은 물론 D3-막의 유효 이론도 따르게 된다. 이 이중성이 몬토넨-올리브 이중성이다.

자이베르그 이중성

 이 부분의 본문은 자이베르그 이중성입니다.

4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭 양-밀스 이론에서도 자이베르그 이중성(Seiberg duality)이라는 S-이중성이 존재한다.^[10] 이 경우, 서로 대응하는 두 이론은 일반적으로 똑같지 않지만, 낮은 에너지 눈금에서는 재규격화군 흐름에 의하여 서로 같아진다. 서로 대응하는 두 이론의 모듈러스 공간은 서로 동형이다. 나탄 자이베르그가 1994년 발견하였다.^[11]

보다 일반적으로, 맛깔 대칭(flavour symmetry)들을 게이지하면, 이중성 폭포(duality cascade)라는 일련의 관계들을 얻는다.^[12]

자이베르그-위튼 이론

 이 부분의 본문은 자이베르그-위튼 이론입니다.

자이베르그-위튼 이론(Seiberg–Witten theory)은 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 4차원 초대칭 게이지 이론의 모듈러스 공간(moduli space)을 다루는 이론이다. 나탄 자이베르그와 에드워드 위튼이 1994년 발표하였다.^[13] 이에 따라, 많은 경우 양자 초대칭 게이지 이론의 모듈러스 공간을 정확히 계산할 수 있고, 서로 다른 것처럼 보이는 이론들이 S-이중성에 따라 사실 같은 양자장론임을 알 수 있다.

6차원 (2,0) 초등각 장론으로 인한 이중성

 이 부분의 본문은 6차원 (2,0) 초등각 장론입니다.

6차원 (2,0) 초등각 장론을 각종 차원의 다양체에 콤팩트화하면, 여러 다양한 S-이중성을 얻는다. 특히, 이를 콤팩트 리만 곡면에 축소하면, 4차원 초대칭 게이지 이론의 이중성들의 여러 일반화를 얻는다.

끈 이론의 S-이중성

초끈 이론들 사이의 이중성

초끈 이론들도 S-이중성을 나타낸다.^[14] ⅡB종 초끈 이론은 스스로에게 대응한다. 즉, 결합 상수 ${\displaystyle g}$의 ⅡB종 초끈 이론은 결합 상수 ${\displaystyle 1/g}$의 이론과 같다. Ⅰ종 초끈 이론은 SO(32) 잡종 끈 이론과 대응한다. ⅡA종 초끈 이론과 E₈ 잡종 이론은 축소화한 M이론에 대응하게 된다.

따라서, 일반적으로 M이론의 이중성들의 군은 T-이중성과 S-이중성들로 생성된다. T-이중성과 S-이중성을 합성한 이중성을 U-이중성이라고 한다.^[15]

S-이중성 아래, 기본 끈(F-끈)은 D1-막(D-끈)과 맞바뀌고, D5-막은 NS5-막(F5-막)과 맞바뀐다.^[16]

Ⅰ종/Spin(32) 잡종 이중성

Ⅰ종 막	Spin(32) 잡종 막
기본 끈	(없음)
D1-막	기본 끈
D5-막	NS5
D0-막 (非BPS)	Spin(32) 스피너 상태 입자 (非BPS)

Ⅰ종 끈 이론의 기본 끈은 다른 끈 이론의 끈과 달리 BPS가 아니어서, 일반적으로 안정하지 않다 (즉, 끊어질 수 있다). 이는 Ⅰ종 끈 이론은 캘브-라몽 장을 포함하지 아니하므로, 끈이 보존되는 전하에 대하여 대전되어 있지 않기 때문이다. 결합 상수가 작을 경우 끈이 끊어지는 속도가 느려 섭동 이론을 전개할 수 있지만, 그 S-이중 이론은 결합 상수가 큰 경우에 해당하므로 Ⅰ종 끈은 곧 붕괴해 버린다. 반면 Spin(32) 잡종 끈은 BPS이므로 안정하며, I종 이론에서 D1-막 (D-끈)으로 존재한다.

Spin(32)의 스피너 상태

Spin(32) 잡종 끈 이론의 (기본 끈의) 스펙트럼에는 게이지 군 Spin(32)의 스피너 표현으로 변환하는 상태가 존재한다. 이는 질량을 가지며, BPS 상태가 아니지만, Spin(32) 게이지 전하의 보존으로 인하여 이러한 상태 가운데 가장 가벼운 것은 안정하다.

S-이중성에 따라서, Ⅰ종 끈 이론에도 이에 대응하는 안정한 상태가 존재한다. S-이중성의 성질에 의하여 이는 물론 Ⅰ종 기본 끈의 스펙트럼에 등장하지 않는다. (Ⅰ종 기본 끈의 스펙트럼의 모든 상태는 SO(32)의 텐서 표현을 따른다.) 다만, 초중력 근사에서, 이러한 상태는 호모토피 군

${\displaystyle \pi _{8}(\operatorname {Spin} (32))\cong \operatorname {Cyc} (2)}$

로서 존재함을 알 수 있다.^[17] 즉, 9+1차원 시공간 속에서, 입자 주위의 9차원 공간의 등각 무한대인 8차원 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{8}}$를 생각하자. 이 경우 호모토피 군의 존재로 인하여, 무한대에서 위와 같이 위상수학적으로 자명하지 않은 꼴을 취하는 게이지 장의 상태를 취할 수 있다. 이는 양-밀스 방정식의 해를 이루지 않으며, 이와 같은 꼴의 해의 최저 에너지 상태는 (만약 존재한다면) 고에너지 물리학(즉, 초끈 이론)에 의존한다.

Ⅰ종 끈 이론의 관점에서, 이는 BPS 조건을 따르지 않는 D0-막으로 여길 수 있다.^[18][19] 이는 BPS가 아니지만, 게이지 전하의 보존으로 인하여 안정하다.

ⅡB 자기 이중성

ⅡB종 막	ⅡB종 막
기본 끈	D1-막
D3-막	D3-막
D5-막	NS5-막
D7-막	S7-막[20]^:522
D9-막	S9-막[20]^:522

ⅡB 이론은 스스로의 S-이중 이론이다. 또한, ⅡB 이론의 S-대칭은 ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$이다. 이에 따라 기본 끈((1,0)-끈)은 일반적으로 p개의 기본 끈과 q개의 D-끈으로 이루어진 (p,q)-끈에 대응되게 된다. 마찬가지로 (p,q) 5-막도 존재한다. D3-막은 S-이중성에 따라 변환하지 않는다.

7-막과 9-막의 변환은 더 복잡하다. D7-막은 여차원이 2이므로, 초중력에서 그 해는 부족각(不足角, 영어: deficit angle)을 가지며, 액시온(0차 라몽-라몽 장)과 딜라톤은 그 주위에서 모노드로미를 갖는다. 7-막들은 이 액시오딜라톤의 SL(2;ℤ) 모노드로미 행렬로서 분류된다. 부족각의 존재 때문에, 충분히 많은 7-막을 사용하면 ⅡB 초끈 이론의, 양의 곡률을 갖는 다양체 위의 축소화를 정의할 수 있으며, 이 경우 7-막들은 F이론에 의하여 타원 곡선 올의 퇴화에 해당한다.

9-막의 경우, 이는 시공간을 채우는 막이므로, 올챙이(영어: tadpole) 파인먼 도표의 상쇄를 위하여 특정한 수의 D9-막과 오리엔티폴드를 가해야 하며, 이 경우 Ⅰ종 초끈 이론을 얻는다.

ⅡA / 잡종 이중성

ⅡA종 끈 이론을 K3 곡면 위에 축소화하여 얻는, 6차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$ 초끈 이론은 잡종 끈 이론을 4차원 원환면 위에 축소화하여 얻는 6차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$ 초끈 이론과 같다.^{[21]:Proposition 1} 이 경우, 끈 결합 상수가 서로 반비례하므로, 이는 S-이중성의 한 형태이다.

ⅡB종 초중력의 S-이중성

ⅡB종 초중력은 ⅡB종 초끈 이론의 저에너지 유효이론이다. ⅡB종 초끈 이론이 ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$ S-이중성을 가지는 것처럼, ⅡB종 초중력도 ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ S-이중성을 가진다. (초중력을 초끈 이론으로 양자화하는 과정에서, 양자역학적 효과에 의하여 ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$가 ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$로 깨진다.)

ⅡB종 초중력의 보손 장들은 ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$에 대하여 다음과 같이 변환한다.

장	행렬 ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )}$에 대한 변환
캘브-라몽 장 ${\displaystyle B_{2}}$ 및 라몽-라몽 2차 형식 ${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle {\binom {B_{2}}{C_{2}}}\mapsto M{\binom {B_{2}}{C_{2}}}}$
딜라톤 ${\displaystyle \Phi }$ 및 라몽-라몽 0차 형식 ${\displaystyle C_{0}}$	${\displaystyle \tau =C_{0}+i\exp(-\Phi )}$, ${\displaystyle \tau \mapsto (a\tau +b)/(c\tau +d)}$
라몽-라몽 4차 형식 ${\displaystyle C_{4}}$	불변
중력장 (아인슈타인 틀) ${\displaystyle g_{\mu \nu }^{\text{(E)}}=\exp(-\Phi /2)g_{\mu \nu }^{\text{(string)}}}$	불변

U-이중성

 이 부분의 본문은 U-이중성입니다.

M이론에서는 T-이중성과 S-이중성에 의하여, 보다 더 큰 이산대칭군이 존재한다. 이를 U-이중성이라고 한다.

통계역학적 격자 모형의 S-이중성

통계역학에서, 각종 격자 모형들도 S-이중성을 만족한다. 2차원 격자 모형의 S-이중성은 크라머르스-바니어 이중성(Kramers–Wannier duality)이라고 하며,^[22] 헨드릭 안토니 크라머르스와 그레고리 바니어(독일어: Gregory Hugh Wannier)가 1941년 발표하였다.^[23] 2차원 이상의 차원에도 유사한 이중성들이 존재한다.

같이 보기

• T-이중성
• 거울 대칭
• AdS/CFT 대응성

각주

1. Witten, Edward (1995년 9월). “On S-duality in Abelian gauge theory”. 《Selecta Mathematica》 (영어) 1 (2): 383–410. arXiv:hep-th/9505186. Bibcode:1995hep.th....5186W. doi:10.1007/BF01671570. ISSN 1022-1824. Zbl 0833.53024. 
2. Verlinde, Erik (1995년 11월 20일). “Global aspects of electric-magnetic duality”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 455 (1–2): 211–225. arXiv:hep-th/9506011. Bibcode:1995NuPhB.445..211V. doi:10.1016/0550-3213(95)00431-Q. ISSN 0550-3213. 
3. Dijkgraaf, Robbert (1997년 3월). “Les Houches lectures on fields, strings and duality” (영어). arXiv:hep-th/9703136. Bibcode:1997hep.th....3136D. 
4. Duff, Michael J. (1996년 9월 10일). “Electric/magnetic duality and its stringy origins”. 《International Journal of Modern Physics A》 11 (22). arXiv:hep-th/9509106. Bibcode:1996IJMPA..11.4031D. doi:10.1142/S0217751X96001899. 
5. Olive, David Ian (1996년 1월). “Exact electromagnetic Duality”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 45 (1): 88–102. arXiv:hep-th/9508089. Bibcode:1996NuPhS..45...88O. doi:10.1016/0920-5632(95)00618-4. 
6. Olive, David Ian (1996년 3월). “Exact electromagnetic Duality”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 46 (1–3): 1–15. Bibcode:1996NuPhS..46....1O. doi:10.1016/0920-5632(96)00002-3. 
7. Montonen, Claus; David Olive (1977년 12월 5일). “Magnetic monopoles as gauge particles?”. 《Physics Letters B》 72 (1): 117–120. Bibcode:1977PhLB...72..117M. doi:10.1016/0370-2693(77)90076-4.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
8. Duff, Michael J. (1996년 9월 10일). “Electric–magnetic duality and its stringy origins”. 《International Journal of Modern Physics A》 11 (22): 4031–4050. arXiv:hep-th/9509106. Bibcode:1996IJMPA..11.4031D. doi:10.1142/S0217751X96001899. 
9. Polchinski, Joseph (1998). 《String Theory, Volume 2: Superstring theory and beyond》. Cambridge University Press. Bibcode:2005stth.book.....P. doi:10.2277/0521633044. ISBN 978-0521633048. 
10. Tanedo, Flip (2011). “Notes on Seibergology” (PDF). 
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12. Strassler, Matthew J. (2003). 《Progress In String Theory: TASI 2003 Lecture Notes, Boulder, Colorado, USA, 2 – 27 June 2003》. 419–510쪽. arXiv:hep-th/0505153. Bibcode:2005hep.th....5153S. doi:10.1142/9789812775108_0005. ISBN 978-981-256-406-1. 
13. Seiberg, Nathan; Edward Witten (1994년 9월 5일). “Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory”. 《Nuclear Physics B》 426 (1): 19–52. arXiv:hep-th/9407087. Bibcode:1994hep.th....7087S. doi:10.1016/0550-3213(94)90124-4.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
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19. Sen, Ashoke. “Type Ⅰ D-particle and its interactions”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 9810: 021. arXiv:hep-th/9809111. doi:10.1088/1126-6708/1998/10/021. 
20. Ortín, Tomás (2004). 《Gravity and Strings》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511616563. ISBN 9780521824750. 
21. Aspinwall, Paul S. (1996). “K3 surfaces and string duality” (영어). arXiv:hep-th/9611137. Bibcode:1996hep.th...11137A. 
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23. Kramers, H. A.; G. H. Wannier (1941). “Statistics of the two-dimensional ferromagnet”. 《Physical Review》 60: 252–262. Bibcode:1941PhRv...60..252K. doi:10.1103/PhysRev.60.252.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

외부 링크

• “S-duality”. 《nLab》 (영어). 
• “Duality in string theory”. 《nLab》 (영어).