경로 (위상수학)

R²의 점 A에서 점 B로의 경로. 일반적으로 두 점을 잇는 경로는 여러 개가 있다.

일반위상수학에서, 위상 공간 X 속의 경로(經路, 영어: path 패스^[*])는 폐구간 ${\displaystyle [0,1]}$로부터 ${\displaystyle X}$로 가는 연속함수이다.

정의

${\displaystyle X}$가 위상 공간이라고 하자. ${\displaystyle X}$ 속의 경로는 연속 함수 ${\displaystyle f\colon [0,1]\to X}$이다. 여기서 ${\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }$은 표준적인 위상을 가진 폐구간이다. f(0)을 경로의 시작점(initial point)이라 하고, f(1)을 경로의 끝점(terminal point)이라 한다. 시작점과 끝점이 같은 경로를 고리(영어: loop)라고 한다.

여기에서 주의할 점은, 경로란 단순히 '곡선과 유사한' X의 부분집합을 말하는 것이 아니라, 매개화에 대한 정보도 함께 포함하고 있다는 것이다. 예를 들어 실직선의 f(x) = x와 g(x) = x²은 서로 다른 경로다.

유클리드 공간의 경로

유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$에서 정의되는 경로는 ${\displaystyle \mathbf {c} :\left[a,b\right]\to \mathbb {R} ^{n}}$로 정의되는 사상이다. 이러한 경로 ${\displaystyle \mathbf {c} }$에 대해서 ${\displaystyle t}$가 ${\displaystyle \left[a,b\right]}$에서 변할 때 점 ${\displaystyle \mathbf {c} \left(t\right)}$들의 집합 ${\displaystyle C}$를 곡선이라 하고 ${\displaystyle \mathbf {c} \left(a\right)}$와 ${\displaystyle \mathbf {c} \left(b\right)}$를 곡선 ${\displaystyle C}$의 끝점이라고 한다. 이때 경로 ${\displaystyle \mathbf {c} }$는 곡선 ${\displaystyle C}$를 매개변수화 한다고 한다. 만약 ${\displaystyle n=3}$이라면 ${\displaystyle \mathbf {c} \left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)}$으로 나타낼 수 있는데 이때 ${\displaystyle x\left(t\right)}$, ${\displaystyle y\left(t\right)}$, ${\displaystyle z\left(t\right)}$들을 각각 경로 ${\displaystyle \mathbf {c} }$의 성분함수들이라고 한다. 3이 아닌 n에 대해서도 같은 방식으로 정의한다.

속도와 속력

 속도 및 속력 문서를 참고하십시오.

만약 경로 ${\displaystyle \mathbf {c} }$가 미분 가능하다면 매 ${\displaystyle t}$에서의 속도는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {c} '\left(t\right)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {c} \left(t+h\right)-\mathbf {c} \left(t\right)}{h}}}$

보통 그림으로 나타낼 때는 경로 ${\displaystyle \mathbf {c} }$가 매개변수화하는 곡선 ${\displaystyle C}$의 각 점을 시작점으로 속도벡터를 그린다. 이때 그 지점에서의 속력은 속도벡터의 크기, 즉 ${\displaystyle \left\Vert \mathbf {c} '\left(t\right)\right\|}$로 정의한다. 만약 ${\displaystyle n=3}$이라면 ${\displaystyle \mathbf {c} \left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right)}$으로 나타날 것이고 어떤 점 ${\displaystyle t=t_{0}}$에서의 속도는 연쇄법칙에 의하여 ${\displaystyle \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)=\left(x'\left(t_{0}\right),y'\left(t_{0}\right),z'\left(t_{0}\right)\right)=x'\left(t_{0}\right)\mathbf {i} +y'\left(t_{0}\right)\mathbf {j} +z'\left(t_{0}\right)\mathbf {k} }$이며 속력은 이 벡터의 크기인 ${\displaystyle \left\Vert \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)\right\|={\sqrt {\left(x'\left(t_{0}\right)\right)^{2}+\left(y'\left(t_{0}\right)\right)^{2}+\left(z'\left(t_{0}\right)\right)^{2}}}}$이다.

접벡터와 접선

 접선 문서를 참고하십시오.

속도벡터 ${\displaystyle \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)}$는 ${\displaystyle t=t_{0}}$일 때 경로 ${\displaystyle \mathbf {c} \left(t_{0}\right)}$와 접한다. 만약 ${\displaystyle \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)\neq \mathbf {0} }$이라면 ${\displaystyle \mathbf {c} '\left(t_{0}\right)}$는 경로 ${\displaystyle \mathbf {c} }$로 매개변수화된 곡선 ${\displaystyle C}$의 ${\displaystyle t=t_{0}}$에서의 접벡터이다. 그리고 ${\displaystyle \mathbf {c} \left(t_{0}\right)}$로부터 이 접벡터 방향으로 뻗어나가는 직선을 ${\displaystyle t=t_{0}}$에서의 접선이라고 한다. 이 직선은 다음과 같은 경로 ${\displaystyle \mathbf {l} }$로 매개변수화되어있다.

${\displaystyle \mathbf {l} \left(t\right)=\mathbf {c} \left(t_{0}\right)+\left(t-t_{0}\right)\mathbf {c} '\left(t_{0}\right)}$

참고 문헌

• Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0.