그로스-느뵈 모형

양자장론에서 그로스-느뵈 모형(영어: Gross–Neveu model)은 2차원 양자장론의 하나이다. 이 이론은 점근 자유성과 등각 변칙 및 손지기 대칭의 자발 대칭 깨짐을 보이며, 이러한 현상 때문에 양자 색역학의 장난감 모형으로 쓰인다.

역사

데이비드 그로스와 앙드레 느뵈(André Neveu)가 1974년 도입하였다.^[1]

정의

그로스-느뵈 모형은 1+1차원의 시공간에서 ${\displaystyle N}$개의 디랙 스피너 페르미온 ${\displaystyle \psi _{a}}$ (${\displaystyle a=1,\dots ,N}$)을 포함하는 양자장론이며, 그 라그랑지언은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{a}\left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi ^{a}+{\frac {g^{2}}{2N}}({\bar {\psi }}_{a}\psi ^{a})^{2}}$

여기서 ${\displaystyle g}$는 무차원 결합 상수이다.

성질

그로스-느뵈 모형은 U(N) 맛깔 대칭 및 다음과 같은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ 손지기 대칭을 가진다.

${\displaystyle \psi ^{a}\mapsto \gamma _{3}\psi ^{a}}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto -{\bar {\psi }}\gamma _{3}}$

맛깔 대칭은 깨지지 않지만, 손지기 대칭은 (양자 색역학의 손지기 대칭과 유사하게) 자발 대칭 깨짐을 겪는다. 즉, 진공 기댓값 ${\displaystyle \langle {\bar {\psi }}^{a}\psi ^{a}\rangle }$이 생기게 되며, 이에 따라 페르미온은 질량을 가지게 된다.

또한, 이 이론은 ${\displaystyle 1/N}$ 섭동 이론을 가진다. ${\displaystyle g}$를 고정시키고 ${\displaystyle 1/N}$으로 전개하자. 그렇다면, ${\displaystyle N}$에 대한 최고차항들만 남긴 이론은 양자 적분가능계이며, 정확히 풀 수 있다 (exactly solvable).

이 이론에서 ${\displaystyle g}$는 무차원 결합 상수이지만, 재규격화군 흐름을 갖는다. 높은 에너지에서는 ${\displaystyle g\to 0}$이므로, 점근 자유성을 갖는다.

같이 보기

• 슈윙거 모형
• 티링 모형

각주

1. Gross, David; André Neveu (1974). “Dynamical symmetry breaking in asymptotically free field theories”. 《Phys. Rev. D》 10 (10): 3235–3253. Bibcode:1974PhRvD..10.3235G. doi:10.1103/PhysRevD.10.3235.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)