그물 (수학)

위상수학에서 그물(영어: net 네트^[*]) 또는 무어-스미스 열(Moore-Smith列, 영어: Moore–Smith sequence)은 점렬의 일반화이다. 점렬과 달리, 그 지수가 자연수 대신 임의의 상향 원순서 집합일 수 있다.

정의

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 그물은 어떤 상향 원순서 집합 ${\displaystyle I}$에 대하여 ${\displaystyle I}$에서 ${\displaystyle X}$로 가는 함수 ${\displaystyle x_{\bullet }\colon I\to X}$이다. 이는 흔히 점렬과 유사하게 첨자로 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$와 같이 표기한다.

점렬은 전순서 집합 ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}$에서 어떤 집합으로 가는 함수이므로, 그물은 점렬의 일반화이다.

상향 원순서 집합 ${\displaystyle I}$와 집합 ${\displaystyle X}$ 및 ${\displaystyle X}$ 속의 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ 및 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$가 주어졌다고 하자.

• 만약 ${\displaystyle \{x_{i}\colon i\gtrsim i_{0}\}\subseteq S}$가 성립하는 ${\displaystyle i_{0}\in I}$가 존재한다면, ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$가 최종적으로 ${\displaystyle S}$에 속한다(영어: eventually in Y)고 한다.
• 만약 임의의 ${\displaystyle i\in I}$에 대하여 ${\displaystyle x_{j}\in S}$인 ${\displaystyle j\gtrsim i}$가 존재한다면, ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$가 빈번히 ${\displaystyle S}$에 속한다고 한다.

${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$가 극대 그물(極大-, ultranet, universal net)일 필요충분조건은, X의 임의의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$에 대하여 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$가 최종적으로 ${\displaystyle S}$에 속하거나 최종적으로 여집합 ${\displaystyle X\setminus S}$에 속하는 것이다. 이는 극대 필터에 대응되는 개념이다.

극한

상향 원순서 집합 ${\displaystyle I}$와 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 및 ${\displaystyle X}$ 속의 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ 및 점 ${\displaystyle x\in X}$가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$가 ${\displaystyle x}$로 수렴한다(영어: converges toward ${\displaystyle x}$) 또는 극한 ${\displaystyle x}$를 갖는다(영어: has limit ${\displaystyle x}$)고 한다.

• ${\displaystyle x}$의 임의의 근방 ${\displaystyle U\ni x}$에 대하여 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$는 최종적으로 ${\displaystyle U}$에 속한다.

그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$가 ${\displaystyle x}$로 수렴할 경우, 점렬의 경우처럼 다음과 같이 쓴다.

${\displaystyle \lim _{i\in I}x_{i}=x}$

만약 ${\displaystyle X}$에 기저가 주어져 있을 경우, 그물이 ${\displaystyle x}$로 수렴하는 것을 보이기 위해서는 그물이 최종적으로 ${\displaystyle x}$를 포함하는 기저의 원소들에 속한다는 것만 보이면 된다.

상극한과 하극한

상향 원순서 집합 ${\displaystyle (I,\lesssim )}$에서 실수로 가는 그물의 경우, 상극한·하극한을 점렬의 경우와 유사하게 다음과 같이 정의할 수 있다.^{[1]:32[2]:217, 221, Exercises 2.53-2.55[3]:2}

${\displaystyle \limsup _{i\in I}x_{i}=\lim _{i\in I}\sup _{i\lesssim j}x_{j}=\inf _{i\in I}\sup _{i\lesssim j}x_{j}}$

${\displaystyle \liminf _{i\in I}x_{i}=\lim _{i\in I}\inf _{i\lesssim j}x_{j}=\sup _{i\in I}\inf _{i\lesssim j}x_{j}}$

그물의 상극한과 하극한은 점렬에서와 비슷한 성질을 갖는다. 예를 들어, 다음이 항상 성립한다.

${\displaystyle \limsup(x_{\alpha }+y_{\alpha })\leq \limsup x_{\alpha }+\limsup y_{\alpha },}$

이 부등식에서 두 그물 중 하나가 수렴하면 등호가 성립한다.

성질

연속 함수

점렬은 위상 공간의 각종 특성을 정의하는 데 자연스럽지 못한 경우가 많다. 이는 점렬이 자연수를 정의역으로 갖는데, 자연수 집합은 가산 집합이므로 지나치게 작기 때문이다. 예를 들어, 일반적인 두 위상 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 두 조건이 동치가 아니다.

• 연속 함수이다.
• 임의의 점렬 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq X}$이 만약 ${\displaystyle x\in X}$에 수렴한다면, ${\displaystyle (f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }}$ 역시 ${\displaystyle f(x)}$로 수렴한다.

전자는 후자를 항상 함의하며, X, Y가 제1 가산 공간일 경우에는 후자가 전자를 함의하지만, 일반적 위상 공간에 대해서는 후자가 전자를 함의하지 못할 수 있다.

그물을 사용하면 이러한 문제가 발생하지 않는다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 연속 함수이다.
• 임의의 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\subseteq X}$이 만약 ${\displaystyle x\in X}$에 수렴한다면, 그물 ${\displaystyle (f(x_{i}))_{i\in I}}$ 역시 ${\displaystyle f(x)}$로 수렴한다.

닫힌집합 · 콤팩트 집합

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 닫힌집합이다.
• ${\displaystyle S}$ 속의 임의의 그물의 임의의 (${\displaystyle X}$ 속에서 취한) 극한은 ${\displaystyle S}$의 원소이다. 즉, 그물 극한은 ${\displaystyle S}$를 벗어나지 않는다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$ 및 점 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} (S)}$. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {cl} }$은 폐포이다.
• ${\displaystyle x}$로 수렴하는 ${\displaystyle S}$ 속의 그물이 존재한다.

볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면, 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 콤팩트 공간이다.
• ${\displaystyle X}$ 속의 임의의 그물은 수렴하는 부분 그물을 갖는다.

극한의 존재·유일성

일반적인 위상 공간에서 임의의 그물은 극한을 0개·1개·2개 이상 가질 수 있다. 그러나 하우스도르프 공간 속의 그물의 극한은 0개 또는 1개이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 속의 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$이 극한을 가질 필요충분조건은 모든 부분그물이 극한을 갖는 것이다. 이때 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$의 모든 극한은 모든 부분그물의 극한이 된다.

곱위상이 주어진 곱공간의 그물이 극한을 가질 필요충분조건은 그물의 각 사영(projection, 정확히 말해 어떤 공간들의 곱공간에서 원래의 공간 중 하나로 내리는 사영사상과 원래 그물의 합성함수로 이루어지는 그물)이 극한을 갖는 것이다. 이 성질과 볼차노-바이어슈트라스 정리를 이용하면 티호노프 정리를 쉽게 증명할 수 있다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 속의 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ 및 점 ${\displaystyle y\in X}$이 다음 조건을 만족시킨다면 ${\displaystyle y}$가 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$의 집적점이라고 한다.

• ${\displaystyle y}$의 임의의 근방 ${\displaystyle U\ni y}$에 대하여 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$가 빈번히 ${\displaystyle U}$에 속한다.

그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$의 집적점의 집합은 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$의 부분그물의 극한들을 모두 모은 집합과 같다.

역사

미국 수학자 일라이어킴 헤이스팅스 무어와 허먼 라일 스미스(영어: Herman Lyle Smith)가 1922년 처음 도입하였다.^[4]

유사한 목적으로 개발된 개념으로 필터가 있다.

각주

1. Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite dimensional analysis: A hitchhiker's guide (Third ed.). Berlin: Springer. pp. xxii+703 pp.. ISBN 978-3-540-32696-0, 3-540-32696-0. MR 2378491.
2. Megginson, Robert E. (1998). An Introduction to Banach Space Theory. Graduate Texts in Mathematics. 193. New York: Springer. ISBN 0-387-98431-3
3. Beer, Gerald (1993). Topologies on closed and closed convex sets. Mathematics and its Applications 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. xii+340. ISBN 0-7923-2531-1. MR 1269778
4. Moore, E. H.; Smith, H. L. (1922). “A general theory of limits”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 44 (2): 102–121. doi:10.2307/2370388. JSTOR 2370388. 

• Kelley, John L. (1975). 《General topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 27 2판. Springer. ISBN 0-387-90125-6. ISSN 0072-5285. Zbl 0306.54002.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Willard, Stephen (1970). 《General Topology》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. MR 0264581. 
• Raman-Sundström, Manya (2014). “A pedagogical history of compactness” (영어). arXiv:1006.4131. Bibcode:2010arXiv1006.4131R. 
• Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and its Foundations. San Diego: Academic Press. ISBN 126227608.
• Bartle, R. G. (1955년 10월). “Nets and filters in topology”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 62 (8): 551–557. doi:10.2307/2307247. JSTOR 2307247. MR 0073153. Zbl 0065.37901. 

외부 링크

• “Net (directed set)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Generalized sequence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Net”. 《nLab》 (영어). 
• “Eventuality filter”. 《nLab》 (영어).