꼭짓점 연산자 대수

수학에서 꼭짓점 연산자 대수(-點演算子代數, 영어: vertex operator algebra)는 등각 장론의 특정 국소적 연산자와 유사한 구조를 지니는 수학적 구조이다. 대략, 벡터를 행렬의 로랑 급수에 대응시키는 연산을 지닌 벡터 공간이다. 리 대수에서, 구조 상수를 로랑 급수로 일반화한 것으로도 생각할 수 있다.

정의

꼭짓점 연산자 대수(vertex operator algebra) ${\displaystyle (V,Y,1,\omega )}$는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

• ${\displaystyle V=\bigoplus _{n=k}^{\infty }V_{n}}$는 정수 차수 붙은(graded) 복소 벡터 공간이다. 각 차수 부분공간 ${\displaystyle V_{n}<\infty }$은 유한 차원이다. ${\displaystyle k}$는 임의의 정수다.
• ${\displaystyle Y\colon V\otimes V\to V((z))}$는 ${\displaystyle V\otimes V}$에서 형식적 로랑 급수 ${\displaystyle V((z))}$로 가는 선형 사상이다. 이는 ${\displaystyle Y\colon V\to (\operatorname {End} V)((z))}$로도 생각할 수 있다. 즉, 일종의 곱셈 연산이다. 이를 상태-연산자 사상(state–operator map)이라고 한다. 편의상 ${\displaystyle a\in V}$이면 ${\displaystyle Y(a)(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}z^{-n-1}}$으로 표기한다. 여기서 ${\displaystyle a_{n}\in \operatorname {End} V}$이다. 간혹 ${\displaystyle a\in V}$에 대하여, ${\displaystyle Y}$를 생략하고 ${\displaystyle a(z)=Y(a)(z)\in \operatorname {End} ((z))}$로 쓰기도 한다.
• ${\displaystyle 1\in V_{0}}$는 벡터 공간의 한 원소다. 이를 진공 상태라고 한다.
• ${\displaystyle \omega \in V_{2}}$는 등각 상태(conformal state)이다. 통상적으로 ${\displaystyle L_{n}=\omega _{n+1}}$으로 표기한다.

이는 다음과 같은 공리를 만족하여야 한다.

• (차수의 성질) ${\displaystyle a\in V_{i}}$, ${\displaystyle b\in V_{j}}$이면 ${\displaystyle a_{n}b\in V_{i+j-n-1}}$이다. 또한, ${\displaystyle a\in V_{n}}$이면 ${\displaystyle L_{0}a=na}$이다.
• (진공의 성질) ${\displaystyle 1(z)}$는 단위 연산자이다. 또한, 모든 ${\displaystyle a\in V}$에 대하여 ${\displaystyle a_{-1}1=a}$이다.
• 모든 ${\displaystyle a,b\in V}$에 대하여, ${\displaystyle n}$이 충분히 크다면 ${\displaystyle a_{n}b=0}$이다.
• (병진 연산자의 표현) 임의의 ${\displaystyle a\in V}$에 대하여, ${\displaystyle (L_{-1}a)(z)=(d/dz)a(z)}$이다.
• (비라소로 대수) ${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+\delta _{m+n,0}(m^{3}-m)c/12}$. 여기서 ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$는 비라소로 대수의 중심 전하(central charge)라고 한다.
• (야코비 항등식) ${\displaystyle z^{-1}\delta ((x-y)/z)a(x)b(y)-z^{-1}\delta ((x-y)/z)b(y)a(x)=y^{-1}\delta ((x-z)/y)(a(z)b)(y)}$. 여기서 ${\displaystyle \delta (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }z^{n}}$은 디랙 델타 함수다.

참고 문헌

• Dong, Chongying (1995). “Introduction to vertex operator algebras I”. arXiv:q-alg/9504017. 
• Nozaradan, Christophe (2008). “Introduction to vertex algebras”. arXiv:0809.1380. 
• Borcherds, Richard E. (1986년 5월 15일). “Vertex algebras, Kac–Moody algebras, and the monster”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 83 (10): 3068–3071. doi:10.1073/pnas.83.10.3068. 
• Gebert, Chongying (1993년 12월 20일). “Introduction to vertex algebras, Borcherds algebras, and the monster Lie algebra I”. 《International Journal of Modern Physics A》 8 (31). arXiv:hep-th/9308151. Bibcode:1993IJMPA...8.5441G. doi:10.1142/S0217751X93002162. 
• Gaitsgory, Dennis (1998). “Notes on 2D conformal field theory and string theory”. arXiv:math/9811061. Bibcode:1998math.....11061G. 

외부 링크

• “Vertex operator algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Sadowski, Christopher (2007년 6월 26일). “A Vertex Operator Algebra” (PDF). 2016년 3월 5일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2012년 11월 11일에 확인함.