뉴턴 항등식(-恒等式, Newton's identities)은 멱합과 기본대칭식에 대한 항등식이다.
멱합, 기본대칭식[편집]
멱합 다항식
는
로 정의된 대칭다항식이다. 즉,
![{\displaystyle s_{0}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3811d124cff0d598f25b173255f2548efcffbe)
![{\displaystyle s_{1}=x_{1}+\cdots +x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5d60664ffdc61affe9ff32dd189fbedb92e50e)
![{\displaystyle s_{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce85e5e75ed383d304efd07b910c7c7f1feefae0)
![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56)
기본대칭다항식
는
로 정의된다. 즉,
![{\displaystyle \sigma _{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487982e8252cee506dfde75674d0fb2269dbddd9)
![{\displaystyle \sigma _{1}=x_{1}+\cdots +x_{n}({}=s_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac4982672929efe83209f41d11021301dcdc910)
![{\displaystyle \sigma _{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8791a83ebf61d24c0d33270a0df30bead6320a75)
![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56)
![{\displaystyle \sigma _{n}=x_{1}\cdots x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a8d82306179ac6f48fc152251ebca1341f348b)
![{\displaystyle \sigma _{n+k}=0,\ k>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8717065237a2501b01a50dcbe68b4907a08d8e08)
기본대칭다항식은
을 근으로 하는 다항식의 계수로부터 유도된다.
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma _{k}x^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1416211d2cfc76b3553b5eab531ee8a8a9e2b41)
임의의 대칭다항식이 기본대칭다항식의 다항식으로 표현되듯이, 멱합 다항식도 그러하다. 뉴턴 항등식은 멱합의 기본대칭식에 의한 표현하는 재귀적인 방법을 제시한다.
![{\displaystyle -s_{k}=-\sigma _{1}s_{k-1}+\sigma _{2}s_{k-2}-\cdots +(-1)^{k-1}\sigma _{k-1}s_{1}+(-1)^{k}k\sigma _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea871399ce46a1feed46ce53f80f3a093c13ed2d)
우변은 마지막 항을 제외해야만 규칙적임에 주의하자.
이면, 뒤에 오는 몇 항이 소실되므로
![{\displaystyle -s_{k}=-\sigma _{1}s_{k-1}+\sigma _{2}s_{k-2}-\cdots +(-1)^{n}\sigma _{n}s_{k-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9774f47d91b4a1e922ca177726f070e8d2f8f32a)
이 성립한다.
뉴턴 항등식에 따라, 다항식의 복소수 근의 거듭제곱합
![{\displaystyle s_{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47766281e50e901dcf52f8b42d56a51092b4233)
및 그들로 표현되는 중근 판별식
![{\displaystyle \prod _{i>j}(x_{i}-x_{j})^{2}=\det VV^{T}=\det[s_{i+j-2}]_{i,j=1}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0e1b82af0f18f63f3fea1d5ab46ea782ecb145)
은 모두 다항식의 계수로도 표현된다.
같이 보기[편집]