럭스 쌍

수학에서 럭스 쌍(영어: Lax pair)은 적분가능계를 풀기 위한 기법의 하나다.

역사

럭스 페테르가 1968년 솔리톤을 다루기 위하여 도입하였다.^[1]

정의

럭스 쌍 ${\displaystyle (L(t),P(t))}$은 어떤 벡터 공간에 작용하고, 다음과 같은 럭스 방정식(영어: Lax’s equation)을 만족시키는 한 쌍의 연산자이다.

${\displaystyle {\frac {dL(t)}{dt}}=[P(t),L(t)]}$

이는 양자역학의 하이젠베르크 묘사에서의 하이젠베르크 운동방정식과 같다.

럭스 방정식에 따라서, ${\displaystyle L(t)}$는 다음과 같이 풀 수 있다.

${\displaystyle L(t)=U(t)L(0)U(-t)}$

여기서

${\displaystyle U(t)=U(-t)^{-1}}$

은 시간 변화 연산자로, 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {dU(t)}{dt}}=P(t)U(t)}$

${\displaystyle U(t)={\mathcal {T}}\exp \int _{0}^{t}P(s)\,dt}$

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {T}}\exp }$은 시간 순서 행렬 지수 함수다. 따라서 ${\displaystyle L(t)}$는 시간에 따라서 서로 닮음행렬이고, 시간에 따라서 고윳값과 고유벡터는 바뀌지 않는다.

보통, 적분가능계에서는 어떤 변수 ${\displaystyle x}$에 대한 운동 방정식을 럭스 방정식

${\displaystyle {\frac {dL(x,t)}{dt}}=[P(x,t),L(x,t)]}$

의 꼴로 표현한다. 그렇다면 ${\displaystyle L(x,t)}$의 고윳값들은 운동 상수가 된다.

각주

1. Lax, P. (1968). “Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves”. 《Comm. Pure Applied Math.》 (영어) 21 (5): 467–490. doi:10.1002/cpa.3160210503. 

외부 링크

• “Hamiltonian system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.