로지스틱 사상

로지스틱 사상의 분기도

동역학계 이론에서 로지스틱 사상(영어: logistic map)은 간단한 2차 다항식으로 주어지는 이산 시간 동역학계이다. 이는 매개 변수의 값을 변화시키는 과정에서 주기가 2배가 되는 분기가 일어나는 주기배가 분기들의 열을 보이며, 이들은 파이겐바움 상수로 묘사되는 보편적인 성질을 보인다. 주기배가 분기들이 끝나는 값부터는 혼돈 현상이 나타난다.

정의

임의의 실수 매개 변수 ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$에 대하여, 로지스틱 사상은 다음과 같은 함수이다.

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} }$

${\displaystyle f\colon x\mapsto rx(1-x)}$

이는 다음과 같이 이산 시간 동역학계로 생각할 수 있다.

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$

집단생체학적 해석

로지스틱 사상은 로지스틱 방정식을 이산화한 방정식이다. 이 경우, ${\displaystyle x_{n}}$은 ${\displaystyle n}$번째 세대의 개체 수 ${\displaystyle N_{n}}$와, 가능한 최대 개체 수 ${\displaystyle N_{\max }}$의 비

${\displaystyle x_{n}=N_{n}/N_{\max }\in [0,1]}$

를 나타낸다. 로지스틱 사상에 따르면, ${\displaystyle n+1}$번째 세대의 인구는 ${\displaystyle n}$번째 세대의 인구의 함수이며, 다음과 같은 성질들을 보인다.

• 만약 개체 수가 매우 작다면 (${\displaystyle 0\leq x_{n}\ll 1}$), 개체 수는 매개 변수 ${\displaystyle r}$에 따라 기하급수적으로 증가하거나 (${\displaystyle r>1}$) 감소한다 (${\displaystyle 0<r<1}$).
• 만약 개체 수가 최댓값 ${\displaystyle x=1}$에 매우 가깝다면, 개체 수는 과밀도로 인하여 급격히 감소한다.

즉, 로지스틱 사상에서는 개체의 수가 ${\displaystyle r}$배로 늘어나지만, 그 가운데 ${\displaystyle (N_{\max }-N)/N_{\max })}$는 과밀도로 사망하게 된다.

로지스틱 사상을 개체 수 모형으로 생각한다면, 초기 조건은 ${\displaystyle x_{0}\in [0,1]}$이며, ${\displaystyle r\in [0,4]}$이어야 한다. 이를 벗어나면, 개체 수가 음수가 되는 등의 기현상이 발생한다.

성질

${\displaystyle r}$에 따라 로지스틱 사상은 다음과 같은 성질을 보인다.

• ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$일 경우, ${\displaystyle x}$는 0으로 수렴한다.
• ${\displaystyle 1\leq r<3}$일 경우, ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle 1-1/r}$로 수렴하며, 수렴하는 속도는 선형이다. 이 가운데 ${\displaystyle r=2}$인 경우는 해석적으로 풀 수 있다.
• ${\displaystyle r=3}$일 경우 ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle 1-1/3}$으로 수렴하지만, 수렴하는 속도는 매우 느리다.
• ${\displaystyle 3<r<1+{\sqrt {6}}}$일 경우, 거의 모든 초기 조건은 주기 2의 주기점에 도달한다.
• ${\displaystyle 1+{\sqrt {6}}<r<3.54409}$일 경우, 거의 모든 초기 조건은 주기 4의 주기점에 도달한다.
• ${\displaystyle 3.54409<r<3.56995}$일 경우, ${\displaystyle r}$가 증가하면서 거의 모든 초기 조건은 주기 2ⁿ의 주기점에 도달한다. 주기는 ${\displaystyle r}$가 증가하면서 두 배씩 증가(주기배가 분기)하며, 주기가 일정한 ${\displaystyle r}$의 구간의 길이는 제1종 파이겐바움 상수 ${\displaystyle \delta \approx 4.669201609}$의 역수로 기하급수적으로 감소한다.
• ${\displaystyle 3.56995\leq r<4}$일 경우, 대부분의 ${\displaystyle r}$ 값들은 혼돈을 보인다. 거의 모든 초기 조건은 무한한 주기를 가진다.
  • 다만, 이 구간에서도 일부 ${\displaystyle r}$ 값은 혼돈을 보이지 않을 수 있다. 예를 들어, ${\displaystyle r=1+{\sqrt {8}}}$부터 시작하는 작은 구간에서는 거의 모든 초기 조건은 주기 3의 주기점으로 수렴한다. (다만, 샤르코우스키 정리에 따라 이 경우 모든 주기의 주기점이 존재한다.) 이보다 ${\displaystyle r}$가 더 커지면 주기는 6, 12, 24 등으로 증가(주기배가 분기)하여, 결국 다시 혼돈 현상을 보이게 된다.
• ${\displaystyle r=4}$인 경우는 혼돈적이지만, 해석적으로 풀 수 있다.
• ${\displaystyle r>4}$일 경우, 거의 모든 초기 조건은 ${\displaystyle \pm \infty }$로 발산한다.

임의의 ${\displaystyle r}$값에 대하여, 안정적인 주기적 궤도는 0개 또는 1개밖에 없다. 만약 안정적인 주기적 궤도가 존재한다면, 거의 모든 초기 조건은 이 궤도로 수렴한다. (일부 경우, 샤르코우스키 정리에 따라서 다른 불안정한 주기적 궤도의 존재를 유추할 수 있다.)

고정점과 2차 주기점

로지스틱 사상은 ${\displaystyle r\neq 0}$일 경우 두 개의 고정점을 가진다.

${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle x=1-1/r}$

집단생태학적으로, 이는 멸종 상태이거나 평형 상태에 해당한다. 이 고정점은 ${\displaystyle r}$의 값에 따라 안정할 수도, 불안정할 수도 있다.

로지스틱 사상은 ${\displaystyle a\not \in [-1,3]}$이면 다음과 같이 주기가 2인 주기적 궤도를 가진다.

${\displaystyle x={\frac {1}{2r}}\left(1+r\pm {\sqrt {r^{2}-2r-3}}\right)}$

해석적 해

로지스틱 사상

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

에서, 다음과 같은 치환을 가하자.

${\displaystyle y=1-2x}$

그렇다면 로지스틱 사상은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle y_{n+1}=1+{\frac {1}{2}}r(y_{n}^{2}-1)}$

함수 ${\displaystyle F}$가 다음 방정식을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle F(rx)=1+{\frac {1}{2}}r(F(x)^{2}-1)}$

그렇다면, 로지스틱 사상의 해석적 해는 다음과 같다.

${\displaystyle y_{n}=F(r^{n}x)}$

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}\left(1-F(r^{n}\theta )\right)}$

여기서 ${\displaystyle F^{-1}}$는 ${\displaystyle F}$의 역함수이며, ${\displaystyle \theta }$는 초기 조건의 매개 변수이다. 따라서, 이러한 함수를 찾을 수 있다면 해당 ${\displaystyle r}$에 대한 로지스틱 사상의 해석적 해를 적을 수 있다.

로지스틱 사상에서, ${\displaystyle r\in \{-2,2,4\}}$인 경우는 이러한 꼴의 해석적 해가 가능하다.

r = 4

${\displaystyle r=4}$인 경우, 해석적 해는 다음과 같다.

${\displaystyle F(x)=\cos({\sqrt {x}})}$

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta )={\frac {1}{2}}\left(1-\cos(2^{n+1}\theta )\right)}$

이는 삼각 함수의 두배각 공식으로 쉽게 보일 수 있다. 이 경우, 만약 ${\displaystyle \theta /\pi }$가 유리수라면 주기적 궤도를 이루지만, ${\displaystyle \theta /\pi }$가 무리수라면 이는 주기적 궤도에 수렴하지 않는다.

이 경우, 임의의 양의 주기에 대하여, 이를 최소 주기로 갖는 주기적 궤도가 존재한다. 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, 최소 주기가 ${\displaystyle n}$인 주기적 궤도의 수는 다음과 같다.

2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161, … (OEIS의 수열 A1037)

즉, 두 개의 고정점이 존재하며, 하나의 주기 3인 주기적 궤도가 존재한다. 이 경우 샤르코우스키 정리에 의하여 나머지 궤도들의 존재를 알 수 있다. 이 모든 주기적 궤도들은 불안정하다.

r = ±2

${\displaystyle r=2}$인 경우, 해석적 해는 다음과 같다.

${\displaystyle F(x)=\exp(x)}$

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}\left(1-\exp(2^{n}\theta )\right)}$

${\displaystyle r=-2}$인 경우, 해석적 해는 다음과 같다.

${\displaystyle F(x)=2\cos(\pi /3-x/{\sqrt {3}})}$

같이 보기

• 로지스틱 함수
• 랴푸노프 안정성

참고 문헌

• May, R. M. (1976). “Simple mathematical models with very complicated dynamics”. 《Nature》 (영어) 261 (5560): 459–67. Bibcode:1976Natur.261..459M. doi:10.1038/261459a0. PMID 934280. 
• Sfondrini, Alessandro. 〈Introduction to universality and renormalization group techniques〉 (PDF). 《Proceedings of the VIII Modave School in Mathematical Physics》 (영어). arXiv:1210.2262. Bibcode:2012arXiv1210.2262S. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Logistic map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Logistic map — r = 4”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Logistic map — r = 2”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Logistic map — r = −2”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.