바나흐 격자

수학에서, 특히 함수해석학과 순서론에서 바나흐 격자 ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$는 ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$이 바나흐 공간이 되고 모든 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대해서 ${\displaystyle |x|\leq |y|\Rightarrow \|x\|\leq \|y\|}$가 작용하는 노름 ${\displaystyle \|\cdot \|}$를 가지는 리스 공간이다. 이 때, ${\displaystyle |x|:=x\vee -x}$이다.

예시와 생성

• 그 절댓값을 규범으로 하는 것과 같이하는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$는 바나흐 공간이다.
• ${\displaystyle X}$를 위상공간이라 두고, ${\displaystyle Y}$를 바나흐 격자로, 그리고 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}$를 유계 공간이라 두고, 노름 ${\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}}$을 가지는 ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle Y}$로 가는 연속함수를 두자. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}$는 점의 순서로 ${\displaystyle f\leq g:\Leftrightarrow \forall x\in X:f(x)\leq g(x)}$인 바나흐 격자가 된다.

같이 보기

• 바나흐 공간
• 리스 공간
• 격자 (순서론)

참고 자료

• Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, C. D. (2002). 《An Invitation to Operator Theory》. Graduate Studies in Mathematics 50. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2146-6.