보렐-베유-보트 정리

리 군 이론에서, 보렐-베유-보트 정리(영어: Borel–Weil–Bott theorem)는 반단순 리 군의 기약 표현을 어떤 복소수 선다발의 층 코호몰로지 군으로 나타내는 정리이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 복소수 반단순 리 군 ${\displaystyle G}$
• 극대 원환면 ${\displaystyle T\leq G}$
• 보렐 부분군 ${\displaystyle T\leq B\leq G}$
• ${\displaystyle B}$의 멱일 근기 ${\displaystyle U\leq B\leq G}$. 특히 ${\displaystyle B/U=T}$이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}T&\subset &B&\subset &G\\&&\cup \\&&U\end{matrix}}}$

• ${\displaystyle T}$의 정수 무게 ${\displaystyle \lambda \colon \operatorname {Lie} (T)^{*}\to \mathbb {C} }$. 즉, 군 표현 ${\displaystyle T\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\operatorname {Unit} (\mathbb {C} )}$.

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

• 사영 사상 ${\displaystyle B\twoheadrightarrow B/U=T}$을 통한 ${\displaystyle B}$의 군 표현 ${\displaystyle C_{\lambda }\colon B\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )}$
• ${\displaystyle B}$-주다발 ${\displaystyle G\twoheadrightarrow G/B}$에 대한, ${\displaystyle C_{\lambda }}$의 연관 벡터 다발 ${\displaystyle (G\times \mathbb {C} )/B=L_{-\lambda }}$. 이는 복소수 선다발이다.
• ${\displaystyle L_{-\lambda }}$ 계수의 층 코호몰로지 군 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })}$. 이는 각 자연수 ${\displaystyle i}$에 대한 복소수 벡터 공간이다.
• 또한, ${\displaystyle G}$가 ${\displaystyle (G\times \mathbb {C} )/B=L_{-\lambda }}$ 위에 (왼쪽에서) 작용하므로, ${\displaystyle G}$는 층 코호몰로지 군 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })}$ 위에 작용한다. 즉, 층 코호몰로지 군들은 군 대수 ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$의 왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 다음을 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle \rho }$가 ${\displaystyle G}$의 모든 양근들의 합 ×½이라고 하자.
• 정수 무게 ${\displaystyle \lambda }$ 및 바일 군 ${\displaystyle \operatorname {W} (G)}$의 임의의 원소 ${\displaystyle w\in \operatorname {W} (G)}$에 대하여, 작용 ${\displaystyle w\lambda =w(\lambda +\rho )-\rho }$. 이에 따라 바일 군은 정수 무게 격자 위의 왼쪽 군의 작용을 갖는다.
• ${\displaystyle \operatorname {length} \colon \operatorname {W} (G)\to \mathbb {N} }$은 콕서터 군의 원소에 대한 길이 함수이다.

이제, 다음과 같은 두 가지 경우 가운데 하나가 성립한다.

1. 바일 군 작용에 대한, ${\displaystyle \lambda }$의 안정자군은 자명군이 아니다 (${\displaystyle \exists w\neq 1\colon w\lambda =\lambda }$). 이는 임의의 ${\displaystyle w\in \operatorname {W} (G)}$에 대하여 ${\displaystyle w\lambda }$가 항상 우세 무게가 아닌 것과 동치이다. 이는 또한 어떤 양근 ${\displaystyle \beta }$에 대하여 ${\displaystyle \langle \lambda |\beta ^{\vee }\rangle =0}$인 것과 동치이다.
2. ${\displaystyle w\lambda }$가 우세 무게가 되는 바일 군 원소 ${\displaystyle w\in \operatorname {W} (G)}$가 유일하게 존재한다. 이를 ${\displaystyle w_{\lambda }}$라고 하자. 또한, 우세 무게 ${\displaystyle w\lambda }$에 대응하는 ${\displaystyle G}$의 기약 표현이 ${\displaystyle G\to \operatorname {GL} (V)}$라고 하자.

그렇다면, 각 경우에 대하여 보렐-베유-보트 정리에 따르면 층 코호몰로지 군 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })}$는 다음과 같다.

1. ${\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} \colon \operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })=0}$
2. ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(G/B;L_{-\lambda })={\begin{cases}0&i\neq \operatorname {length} (w_{\lambda })\\V^{*}&i=\operatorname {length} (w_{\lambda })\end{cases}}}$

특히, 이미 ${\displaystyle \lambda }$가 우세 무게인 경우, 항상 경우 2가 성립하며, ${\displaystyle w_{\lambda }=1}$이자 ${\displaystyle \operatorname {length} (w_{\lambda })=0}$이다. 이 경우를 보렐-베유 정리라고 한다.

예

다음과 같은 경우를 생각하자.

• ${\displaystyle G=\operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )}$ (2×2 복소수 특수 선형군)
• ${\displaystyle B=\operatorname {B} (2;\mathbb {C} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&a^{-1}\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {C} \setminus \{0\},\;b\in \mathbb {C} \right\}}$ (상삼각 행렬로 구성된 부분군)
• ${\displaystyle U=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\colon b\in \mathbb {C} \right\}}$
• ${\displaystyle T=B/U\cong \mathbb {C} ^{\times }}$
• ${\displaystyle G/B\cong \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}}$ (리만 구)
• 정수 무게 ${\displaystyle \lambda }$. 이는 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$에 대하여 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$, ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$으로 주어진다.
• 선다발 ${\displaystyle L_{-\lambda }}$는 리만 구의 표준 선다발의 거듭제곱 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$이다.
• ${\displaystyle G=A_{1}}$의 근계는 1차원이며, 하나의 양근 2를 갖는다. 즉 ${\displaystyle \rho =1}$이다.

이에 따라, 보렐-베유-보트 정리에 의하면

${\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1};{\mathcal {O}}(n))=\Gamma (\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1};{\mathcal {O}}(n))\cong \operatorname {Sym} ^{n}(\mathbb {C} ^{2})^{*}}$

는 표준 (2차원) 표현의 ${\displaystyle n}$차 대칭 거듭제곱이다.

역사

아르망 보렐과 앙드레 베유가 우세 무게에 대한 경우(즉, 0차 층 코호몰로지에 대응하는 경우)를 증명하였다. 이후 라울 보트가 이를 일반적 정수 무게에 대한 경우(즉, 고차 코호몰로지에 대응하는 경우)로 일반화하였다.

참고 문헌

• Baston, Robert J.; Eastwood, Michael G. (1989). 《The Penrose transform: its interaction with representation theory》 (영어). Oxford University Press. 

외부 링크

• “Bott–Borel–Weil theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Bott-Borel-Weil theorem”. 《nLab》 (영어).