보흐너 적분

함수해석학에서 보흐너 적분(Bochner積分, 영어: Bochner integral)은 바나흐 공간 값의 함수에 대하여 정의되는, 르베그 적분의 일반화이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$
• ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle (V,\|\|_{V})}$
• 측도 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {S}},\mu )}$

그렇다면, ${\displaystyle X\to V}$ 단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to V}$이다.

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{k}v_{i}\chi _{S_{i}}}$

${\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{k}\in V}$

${\displaystyle S_{1},\dotsc ,S_{k}\in {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

(여기서 ${\displaystyle \chi }$는 지시 함수이다.)

단순 함수의 보흐너 적분은 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{X}\left(\sum _{i=1}^{k}v_{i}\chi _{S_{i}}\right)\,\mathrm {d} \mu =\sum _{i=1}^{k}v_{i}\mu (S_{i})\in V}$

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to V}$에 대하여, 만약 (다음 좌변이 존재하며) 다음 등식이 성립하는 단순 함수열 ${\displaystyle (f_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$이 존재한다면, ${\displaystyle f}$를 보흐너 적분 가능 함수라고 한다.

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\int _{X}\|f-f_{i}\|_{V}\,\mathrm {d} \mu =0}$

여기서 좌변의 적분은 실수 값의 르베그 적분이다.

이 경우, 보흐너 적분 가능 함수 ${\displaystyle f}$의 보흐너 적분은 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{X}f\,\mathrm {d} \mu =\lim _{i\to \infty }\int _{X}f_{i}\,\mathrm {d} \mu }$

여기서 우변의 극한은 노름 거리 위상에 대한 것이다.

보흐너 공간

${\displaystyle X\to V}$ 보흐너 적분 가능 함수들의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간을 ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}(X;V)}$라고 하자. 그 위에 반노름

${\displaystyle \|f\|=\int _{X}\|f\|_{V}\,\mathrm {d} \mu }$

을 줄 수 있다. 이 반노름이 0인 원소들의 부분 벡터 공간에 대한 몫

${\displaystyle \operatorname {L} ^{1}(X;V)={\frac {{\mathcal {L}}^{1}(X;V)}{\{f\in {\mathcal {L}}^{1}(X;V)\colon \mu (\{x\in X\colon f(x)\neq 0\})=0\}}}}$

을 1-보흐너 공간(영어: Bochner space)이라고 한다.

예

만약 ${\displaystyle V=\mathbb {K} }$일 경우, ${\displaystyle V}$값의 보흐너 적분은 르베그 적분과 같다.

역사

잘로몬 보흐너가 도입하였다.^[1]

각주

1. Bochner, Salomon (1933). “Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 20: 262–276. 

외부 링크

• “Bochner integral”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.