비틀림 텐서

공간 곡선의 비틀림에 대해서는 곡선 비틀림 문서를 참고하십시오.

미분기하학에서 비틀림 텐서(영어: torsion tensor)는 주다발의 코쥘 접속이 레비치비타 접속에서 얼마나 벗어나는지를 측정하는, (1,2)차 텐서장이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$의 주다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ 위의 코쥘 접속 ${\displaystyle \nabla }$

그렇다면, ${\displaystyle \nabla }$의 비틀림 텐서는 다음과 같은 (1,2)-텐서장 (${\displaystyle \mathrm {T} M}$값 이차 형식)

${\displaystyle T\in \operatorname {\Gamma } (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M)}$

이다.

${\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]\qquad (X,Y\in \Gamma (\mathrm {T} M))}$

여기서

• ${\displaystyle [X,Y]}$는 리 미분이다.

성분으로 적으면 다음과 같다. 우선, 코쥘 접속의 성분이

${\displaystyle (\nabla _{\mu }X)^{\nu }=\partial _{\mu }X^{\nu }+\Gamma _{\mu \rho }^{\nu }X^{\rho }}$

라고 하자. 또한, 국소적으로 (홀로노믹) 좌표를 잡자. 그렇다면,

${\displaystyle T(X,Y)^{\nu }=T^{\nu }{}_{\mu \rho }X^{\mu }Y^{\rho }}$

${\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu \rho }=\Gamma _{\mu \rho }^{\nu }-\Gamma _{\rho \mu }^{\nu }=2\Gamma _{[\mu \rho ]}^{\nu }}$

이다.

보다 일반적으로, 임의의 필바인

${\displaystyle e_{1}^{\mu }\,\dotsc ,e_{n}^{\mu }\in \Gamma (\mathrm {T} M)}$

을 잡자. 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

${\displaystyle [e_{a},e_{b}]^{\mu }=\gamma _{ab}^{c}e_{c}^{\mu }}$

${\displaystyle e_{a}^{\mu }(\nabla _{\mu }e^{b})_{\nu }=\omega ^{b}{}_{ac}e_{\nu }^{c}}$

여기서 ${\displaystyle \omega }$는 스핀 접속이다.

그렇다면, 이 기저에서 비틀림 텐서는 다음과 같다.

${\displaystyle T^{c}{}_{ab}=\omega _{ab}^{c}-\omega _{ba}^{c}-\gamma _{ab}^{c}}$

성질

비틀림 텐서는 (1,2)차 텐서장이며, 그 두 개의 아래 지표는 서로 반대칭이다. 즉, ${\displaystyle \mathrm {T} M}$값의 2차 미분 형식을 이룬다.

${\displaystyle T^{i}{}_{jk}=-T^{i}{}_{kj}}$

즉, ${\displaystyle n}$차원의 다양체에서 그 성분은 총 ${\displaystyle n\times n\times (n-1)/2}$개이다. 특히, 1차원 이하의 경우 비틀림 텐서는 항상 0이다. (2차원 이상의 경우 비틀림이 ≠0일 수 있다.)

비안키 항등식

아핀 다양체 ${\displaystyle (M,\nabla )}$의 리만 곡률

${\displaystyle R(X,Y)Z=[\nabla _{X},\nabla _{Y}]Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$

을 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 비안키 항등식(Bianchi恒等式, 영어: Bianchi identity)이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Cyc} _{X,Y,Z}\left[R(X,Y)Z-T(T(X,Y),Z)-(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right]=0}$

${\displaystyle \operatorname {Cyc} _{X,Y,Z}\left[(\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right]=0}$

여기서

${\displaystyle \operatorname {Cyc} _{X,Y,Z}[X\dotso Y\dotso Z]=X\dotso Y\dotso Z+Y\dotso Z\dotso X+Z\dotso X\dotso Y}$

는 ${\displaystyle (X,Y,Z)}$를 순환에 따라 치환한 합을 뜻한다.

예

준 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$의 레비치비타 접속의 비틀림은 0이다.

같이 보기

• 리만 곡률 텐서
• 레비치비타 접속

외부 링크

• “Torsion tensor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Torsion tensor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Torsion of a metric connection”. 《nLab》 (영어).