슈어 보수행렬

선형 대수학 및 행렬론에서 슈어 보수행렬(슈어補數行列,Schur complement matrix)은 행렬 블럭이 슈어 보완 또는 슈어 보충(즉, 더 큰 행렬 내의 부분 행렬)으로 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle A,B,C,D}$ 가 각각 ${\displaystyle p\times p,p\times q,q\times p}$및${\displaystyle q\times q}$행렬이고 ${\displaystyle D}$가 역변환 가능하다고 가정한다.

${\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle M}$ 은 ${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$ 행렬이다.

그 다음, 행렬${\displaystyle M}$ 의 블록 ${\displaystyle D}$ 의 슈어 보수행렬은${\displaystyle p\times p}$ 행렬이다

${\displaystyle {{M} \over {D}}=A-BD^{-1}C\,}$

행렬 ${\displaystyle M}$ 의 블록${\displaystyle A}$의 슈어 보수는${\displaystyle q\times q}$ 행렬

${\displaystyle {{M} \over {A}}=D-CA^{-1}B\,}$

${\displaystyle A}$또는${\displaystyle D}$가 가역행렬인 경우, ${\displaystyle {{M} \over {D}}}$및 ${\displaystyle {{M} \over {A}}}$의 역은 "일반화된 슈어 보수"라고 불리는 것을 산출하는 일반화된 역(Generalized inverse)으로 대체 될 수 있다.

슈어 보수행렬은 이전에도 사용되었지만 슈어 보조정리를 증명하는 데 사용한 이사이 슈어(Issai Schur)의 이름을 따서 명명되었다.^[1]

에밀리 헤이즈워쓰(Emilie Haysworth)는 슈어 보완이라는 명칭을 처음으로 사용했다.^[2]

슈어 보수는 수치 해석, 통계 및 행렬 분석 분야의 핵심 도구로 사용되고 있다.

같이 보기

• 역행렬

참고

• http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0097316573900083

1. Zhang, Fuzhen (2005). 《The Schur Complement and Its Applications》. Springer. doi:10.1007/b105056. ISBN 0-387-24271-6. 
2. Haynsworth, E. V., "On the Schur Complement", Basel Mathematical Notes, #BNB 20, 17 pages, June 1968.