카들라그 함수의 예. 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 항상 존재하며, 불연속점에서 함수의 값은 오른쪽 극한과 일치한다.
확률론 과 실해석학 에서 스코로호드 공간 (Скороход空間, 영어 : Skorokhod space )은 실수 구간 위에 정의된, 왼쪽 극한을 가지며 오른쪽 연속인 함수들의 폴란드 공간 이다.[ 1] :Chapter 3 그 원소를 카들라그 함수 (càdlàg函數, 영어 : càdlàg function )라고 한다. 그 위의 위상인 스코로호드 위상 (Скороход位相, 영어 : Skorokhod topology )에서의 수렴은 시간의 측정(특히, 함수의 불연속점이 발생하는 시각)이 오차를 가질 수 있음을 반영한다.
다음이 주어졌다고 하자.
분해 가능 완비 거리 공간
(
X
,
d
X
)
{\displaystyle (X,d_{X})}
닫힌구간
[
a
,
b
]
⊊
R
{\displaystyle [a,b]\subsetneq \mathbb {R} }
그렇다면, 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
X
{\displaystyle f\colon [a,b]\to X}
가 다음 조건을 만족시킨다면, 카들라그 함수 라고 한다.[ 1] :121, Chapter 3
∀
s
∈
[
a
,
b
)
:
f
(
s
)
=
lim
t
→
s
+
f
(
t
)
{\displaystyle \forall s\in [a,b)\colon f(s)=\lim _{t\to s^{+}}f(t)}
∀
s
∈
(
a
,
b
]
:
∃
lim
t
→
s
−
f
(
t
)
{\displaystyle \forall s\in (a,b]\colon \exists \lim _{t\to s^{-}}f(t)}
즉, 오른쪽 극한과 왼쪽 극한이 둘 다 존재하며, 실제 함수 값은 오른쪽 극한과 같아야 한다.
카들라드 함수들의 집합을
D
(
[
a
,
b
]
,
X
)
{\displaystyle \mathbb {D} ([a,b],X)}
라고 하자. 이 위에, 다음과 같은 거리 함수 를 주자.[ 1] :125, (12.16)
d
D
(
f
,
g
)
=
inf
θ
∈
Aut
(
[
a
,
b
]
)
max
{
sup
t
∈
[
a
,
b
]
d
X
(
f
(
t
)
,
g
(
θ
(
t
)
)
)
,
sup
a
≤
s
<
t
≤
b
|
ln
θ
(
t
)
−
θ
(
s
)
t
−
s
|
}
{\displaystyle d_{\mathbb {D} }(f,g)=\inf _{\theta \in \operatorname {Aut} ([a,b])}\max \left\{\sup _{t\in [a,b]}d_{X}(f(t),g(\theta (t))),\;\sup _{a\leq s<t\leq b}\left|\ln {\frac {\theta (t)-\theta (s)}{t-s}}\right|\right\}}
여기서
Aut
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle \operatorname {Aut} ([a,b])}
는
[
a
,
b
]
→
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]\to [a,b]}
전단사 증가 연속 함수 들의 군 이다.
그렇다면, 이는 분해 가능 완비 거리 공간 을 이룬다.[ 1] :Theorem 12.2
(
D
(
[
a
,
b
]
,
X
)
,
d
D
)
{\displaystyle (\mathbb {D} ([a,b],X),d_{\mathbb {D} })}
를 스코로호드 공간 이라고 한다.
스코로호드 공간에 다음과 같은, 더 단순한 거리 함수 를 줄 수도 있다.
d
D
′
(
f
,
g
)
=
inf
θ
∈
Aut
(
E
,
E
)
max
{
sup
t
∈
[
a
,
b
]
d
X
(
f
(
t
)
,
g
(
θ
(
t
)
)
)
,
sup
a
≤
s
≤
t
≤
b
|
θ
(
t
)
−
s
|
}
{\displaystyle d'_{\mathbb {D} }(f,g)=\inf _{\theta \in \operatorname {Aut} (E,E)}\max \left\{\sup _{t\in [a,b]}d_{X}(f(t),g(\theta (t))),\;\sup _{a\leq s\leq t\leq b}|\theta (t)-s|\right\}}
이는
d
D
{\displaystyle d_{\mathbb {D} }}
와 같은 위상을 정의하지만, 이는 일반적으로 완비 거리 공간 을 정의하지 못한다.[ 1] :125, Example 12.2
임의의
θ
∈
Aut
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle \theta \in \operatorname {Aut} ([a,b])}
에 대하여,
(
∘
θ
)
:
D
(
[
a
,
b
]
,
X
)
→
D
(
[
a
,
b
]
,
X
)
{\displaystyle (\circ \theta )\colon D([a,b],X)\to \mathbb {D} ([a,b],X)}
는 정의에 따라 전단사 등거리 변환 을 이룬다.
정의에 따라, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
C
0
(
[
a
,
b
]
,
X
)
⊊
D
(
[
a
,
b
]
,
X
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b],X)\subsetneq \mathbb {D} ([a,b],X)}
만약
C
0
(
[
a
,
b
]
,
X
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b],X)}
에 거리 함수
d
(
f
,
g
)
=
sup
t
∈
[
a
,
b
]
d
X
(
f
(
t
)
,
g
(
t
)
)
{\displaystyle d(f,g)=\sup _{t\in [a,b]}d_{X}(f(t),g(t))}
를 부여할 경우, 이 포함 사상은 연속 함수 이다. 또한, 연속 함수의 스코로호드 수렴은 이 거리 함수에서의 수렴과 동치 이다. 따라서,
C
0
(
[
a
,
b
]
,
X
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b],X)}
는
D
(
[
a
,
b
]
,
X
)
{\displaystyle \mathbb {D} ([a,b],X)}
의 닫힌집합 을 이룬다.
스코로호드 위상에서, 카들라그 함수열
(
f
i
)
i
=
0
∞
⊆
D
(
[
a
,
b
]
,
X
)
{\displaystyle (f_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {D} ([a,b],X)}
이
f
∈
D
(
[
a
,
b
]
,
X
)
{\displaystyle f\in \mathbb {D} ([a,b],X)}
로 수렴할 필요 충분 조건 은 다음과 같다.
어떤 함수열
(
θ
i
)
i
=
0
∞
⊆
Aut
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle (\theta _{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq \operatorname {Aut} ([a,b])}
에 대하여,
f
i
∘
θ
i
{\displaystyle f_{i}\circ \theta _{i}}
가
f
{\displaystyle f}
로 균등 수렴 하며, 또한
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}}
가 항등 함수
id
[
a
,
b
]
{\displaystyle \operatorname {id} _{[a,b]}}
로 균등 수렴 한다.
특히, 만약 함수열
f
i
{\displaystyle f_{i}}
가 연속 함수 만으로 구성된다면, 그 (스코호로트 위상에서의) 수렴은
f
i
{\displaystyle f_{i}}
의 균등 수렴 과 동치 이다.[ 1] :124, §12
D
(
[
a
,
b
]
,
X
)
{\displaystyle \mathbb {D} ([a,b],X)}
위에 L∞ 노름
‖
f
‖
=
sup
t
∈
[
a
,
b
]
f
(
t
)
{\displaystyle \|f\|=\sup _{t\in [a,b]}f(t)}
을 주면 이는 바나흐 공간 을 이루지만, 이는 분해 가능 공간 을 이루지 못한다. 이 때문에 이 위상은 확률론에서 잘 사용되지 않는다.
“카들라그 함수”(프랑스어 : fonction càdlàg )라는 용어는 프랑스어 : continue à droite, limite à gauche 콩티뉘 아 드루아트, 리미트 아 고슈[* ] (오른쪽에서 연속, 왼쪽에서 극한)의 머리글자를 딴 것이다.
카들라그 함수의 공간 위의 스코로호드 위상은 L∞ 노름의 분해 가능성 의 실패를 고치기 위하여 아나톨리 볼로디미로비치 스코로호드(우크라이나어 : Анато́лій Володи́мирович Скорохо́д , 러시아어 : Анато́лий Влади́мирович Скорохо́д 아나톨리 블라디미로비치 스코로호트[* ] , 1930〜2011)가 1956년에 도입하였다.[ 2] 이 논문에서 스코로호드는 여러 개의 위상들(
M
1
{\displaystyle M_{1}}
,
M
2
{\displaystyle M_{2}}
,
J
1
{\displaystyle \mathbf {J} _{1}}
,
J
2
{\displaystyle \mathbf {J} _{2}}
)을 정의하였는데, 그 가운데 오늘날 ‘스코로호드 위상’이라고 불리는 것은
J
1
{\displaystyle \mathbf {J} _{1}}
이다.