스플라인 보간법

스플라인 보간법(Spline Interpolation)은 전체 구간을 소구간별로 나누어 저차수의 다항식으로 매끄러운 함수를 구하는 방법이다. 구간별 다항식 보간법(Piecewise Polynomial Interpolation) 이라고도 한다. 보간법의 내재적인 오류를 최소화할 수 있다는 점에서 모든 데이터를 한번에 취해 하나의 다항식을 만드는 다항식 보간법보다 더 선호된다.^[1] 또한 보간법으로 산출된 값이 실제 값을 중심으로 진동하는 현상인 룽게 현상으로부터 자유롭다는 장점이 있다.

특징

국소적으로 급격히 변하는 함수의 거동에 우수한 근사를 제공한다. 허나 너무 높은 차수의 다항식으로 근사할 경우 과적합 문제가 발생할 수 있으며 계산량이 증가하기 때문에 적절히 낮은 차수의 다항식으로 제시된다.

조건

n개의 데이터점, ${\displaystyle (n-1)}$개 소구간, 각 소구간 ${\displaystyle i}$, 소구간별 스플라인 함수 ${\displaystyle s^{i}}$가 주어질 때, 보간된 함수는 다음의 조건을 만족해야한다.

• 각 소구간에서 보간점이 정의될 수 있어야 한다.
• 각 소구간에서 (n-1)차 연속 미분가능해야 한다.
• 각 소구간에서 n차 다항식으로 표현 가능하다.

같이 보기

• 비균일 유리 B-스플라인

각주

1. Hall, Charles A.; Meyer, Weston W. (1976). “Optimal Error Bounds for Cubic Spline Interpolation”. 《Journal of Approximation Theory》 16 (2): 105–122. doi:10.1016/0021-9045(76)90040-X.