아르틴 L-함수

수학에서 아르틴 L-함수(Artin L- Function)는 갈루아 군 G 의 선형 표현 ρ와 연관된 디리클레 급수의 유형이다. 이 기능은 에밀 아르틴 ( Emil Artin )이 1923년에 군론에 관한 그의 연구와 관련하여 도입하였다. 이 함수의 기본 속성, 특히 아래에 설명된 아르틴 추측(Artin conjecture)은 쉽게 증명할 수 있는 것으로 밝혀졌다. 비 - 아벨 군이 제안되는 목적 중 하나는 아르틴 L- 함수(Artin L -function)의 복잡한 분석 특성을 자기동형 형식(automorphic form)과 랭글랜즈 프로그램과 같은 더 큰 틀에 통합하는 것이다. 지금까지는 이 이론의 일부 영역만 확고한 기초 위에 놓여있다고 본다.

아르틴 추측

아르틴 L-함수에 대한 아르틴추측(Artin conjecture)은 자명하지 않은 비-자명군 기약 표현 ρ의 아르틴 L-함수 L (ρ, s )가 전체 복소 평면에서 해석적이라고 기술하고있다.

이것은 1 차원 표현에서, L- 함수는 헤케 지표와 연관되어 있으며 특히 디리클레 L-함수에 관련되어 있다. 좀더 일반적으로 아르틴(Artin)은 아르틴 추측이 1 차원 표현으로부터 유도된 모든 표현에 대해 사실임을 보여주고있다. 갈루아 군이 초 가해군(supersolvable)이거나 보다 일반적으로 단항적(monomial)인 경우, 모든 표현은 아르틴 추측이 유지하는 형식이다.

앙드레 베유(André Weil)는 유리 함수층(funtion field)의 경우의 아르틴 추측을 증명했다.

2 차원 표현은 이미지 하위 그룹(군)의 본질에 따라 분류된다. 이 그룹은 순환, 2 면체, 4 면체, 8 면체 또는 20 면체 일 수 있다. 주기적인 또는 2 면체의 경우에 대한 아르틴추측은 헤게(Hecke)의 연구에서 쉽게 다루어 진다. 랭글랜즈(Langlands)는 4면체의 경우를 증명하기 위해 기저부를 다루었다. 터넬(Tunnell)은 8면체의 경우를 다루기 위해 이 연구를 확장했다. 앤드루 와일스(Andrew Wiles)는 다니야마-시무라-베유 추측(Taniyama-Shimura conjecture)에대한 증거로 이러한 사례를 사용했다. 리차드 테일러 (Richard Taylor) 와 다른 사람들은 (해결할 수 없을 것으로 여겨지는) 20 면체의 경우에 대해 진전을 보였다. 이것은 활발한 연구 분야이다.

"유도된 지표에 대한 브라우어(Brauer)의 정리"는 모든 아르틴 L- 함수가 헤케 L-함수의 양과 음의 적분의 곱이며, 따라서 전체 복소 평면에서 모형이 됨을 의미하고 있다.

랭글랜즈(Langlands, 1970)는 아르틴 추측은 GL (n) 에 대한 자기동형 형식과 관련된 L-함수(L-function)가 랭글랜즈 프로그램의 강력한 결과로부터 나온 것이라고 지적했다.

n\geq 1

에서 보다 정확하게, 랭글랜즈 추측은 아딜 그룹

GL_{n}(A_{Q})

의 자기동형 표현을 갈로아 군의 모든 n 차원 기약표현과 연관 시키며, 이는 갈루아 표현이 환원 불가능한 경우에, 갈로아 표현의 함수는 자기동형 표현의 자기동형 L- 함수와 동일하다. 아르틴 추측은 첨단 표현(cuspidal representation)의 L- 함수가 동형적임을 알려진 사실로부터 보여준다. 이것은 랭글랜즈의 작업에 대한 주요 동기 중 하나였다.

데데킨트 추측

더 약한 추측 (The weaker conjecture, 때로는 데데킨트 추측(Dedekind conjecture)으로 알려짐)은 ${M \over K}$ 가 체의 확장일 경우,

s\mapsto {{\zeta _{M}(s)} \over {\zeta _{K}(s)}}

이것은 데데킨트 제타 함수이다.

아라마타-브라우어 정리(Aramata-Brauer theorem)는 ${M \over K}$ 가 갈루아 군이라면 그 추측이 성립한다고 보여주고 있다.

보다 일반적으로, N 을 K에 대해 M 의 갈루아 클로저(폐포)로, G를 ${N \over K}$ 의 갈루아 군으로 하자. 이때 M에서 K-불변량 복소수의 삽입에 대한 G 의 작용과 관련된 자연스러운 형식은 $s\mapsto {{\zeta _{M}(s)} \over {\zeta _{K}(s)}}$ 와 관련된 아르틴 L- 함수와 동일하다. 따라서 아르틴 추측은 데데킨트 추측을 의미한다.

1975년 우치다(Uchida)와 반데르 발(van der Waal)에 의해 G 가 가해군 일 때 그 추측이 입증되었다.

같이 보기

L-함수

참고

Artin, E. (1923). “Über eine neue Art von L Reihen”. 《Hamb. Math. Abh.》 3. Reprinted in his collected works, ISBN 0-387-90686-X. English translation in Artin L-Functions: A Historical Approach by N. Snyder.
Artin, Emil (1930), “Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.”, 《Abhandlungen Hamburg》 (독일어) 8: 292–306, doi:10.1007/BF02941010, JFM 56.0173.02
Tunnell, Jerrold (1981). “Artin's conjecture for representations of octahedral type”. 《Bull. Amer. Math. Soc.》. N. S. 5 (2): 173–175. doi:10.1090/S0273-0979-1981-14936-3.
Gelbart, Stephen (1977). 〈Automorphic forms and Artin's conjecture〉. 《Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976)》. Lecture Notes in Math. 627. Berlin: Springer. 241–276쪽.
Langlands, Robert (1967), 《Letter to Prof. Weil》
Langlands, R. P. (1970), 〈Problems in the theory of automorphic forms〉, 《Lectures in modern analysis and applications, III》, Lecture Notes in Math 170, Berlin, New York: Springer-Verlag, 18–61쪽, doi:10.1007/BFb0079065, ISBN 978-3-540-05284-5, MR 0302614
Martinet, J. (1977), 〈Character theory and Artin L-functions〉, Fröhlich, A., 《Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975》, Academic Press, 1–87쪽, ISBN 0-12-268960-7, Zbl 0359.12015
Prasad, Dipendra; Yogananda, C. S. (2000), Bambah, R. P.; Dumir, V. C.; Hans-Gill, R. J., 편집., 《A Report on Artin's Holomorphy Conjecture》 (PDF), Birkhäuser Basel, 301––314쪽, doi:10.1007/978-3-0348-7023-8_16, ISBN 978-3-0348-7023-8