아르프 불변량

2009년에 발행된, 10 튀르키예 리라 지폐에는 자히트 아르프의 초상화와 아르프 불변량의 정의가 등장한다.

이차 형식 이론에서, 아르프 불변량(Arf不變量, 영어: Arf invariant)는 표수 2의 체 위의 이차 형식을 분류하는 불변량이다.

정의

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$의 경우의 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 차원 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$-벡터 공간 ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle V}$ 위의 비퇴화 이차 형식 ${\displaystyle Q\colon V\to K}$

그렇다면, 항상

${\displaystyle |\{v\in V\colon Q(v)=0\}|\neq |\{v\in V\colon Q(v)=1\}|}$

임을 보일 수 있다.

${\displaystyle Q}$의 아르프 불변량은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Arf} (Q)={\begin{cases}0&|\{v\in V\colon Q(v)=0\}|>|\{v\in V\colon Q(v)=1\}|\\1&|\{v\in V\colon Q(v)=0\}|<|\{v\in V\colon Q(v)=1\}|\\\end{cases}}\in \mathbb {F} _{2}}$

일반적 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 표수 2의 체 ${\displaystyle K}$
• 유한 차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간 ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle V}$ 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q\colon V\to K}$

그렇다면, ${\displaystyle Q}$를 다음과 같은 꼴로 나타내는 ${\displaystyle V}$의 기저 ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$가 존재함을 보일 수 있다.

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }a_{i}x_{2i}^{+}x_{2i}x_{2i+1}+b_{i}x_{2i+1}^{2}}$

${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{\lfloor n/2\rfloor },b_{1},\dots ,b_{\lfloor n/2\rfloor }\in K}$

특히, 만약 ${\displaystyle V}$가 비특이 이차 형식이라면 ${\displaystyle n}$은 항상 짝수이다.

그렇다면, 다음과 같은 값을 생각하자.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\lfloor n/2\rfloor }a_{i}b_{i}}$

이 값은 선택한 기저 ${\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n})}$에 의존하지만, 다른 기저 ${\displaystyle (x'_{1},\dotsc ,x'_{n})}$를 선택하였을 경우

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(a_{i}b_{i}-a'_{i}b'_{i})\in \{a^{2}+a\colon a\in K\}}$

가 된다. 또한, 이 집합은 ${\displaystyle K}$의 덧셈 부분군을 이룬다.

증명:

임의의 ${\displaystyle a,b\in K}$에 대하여,

${\displaystyle (a^{2}+a)+(b^{2}+b)=(a+b)^{2}+(a+b)-2ab=(a+b)^{2}+(a+b)}$

이다.

이에 따라, 덧셈 아벨 군 ${\displaystyle (K,+)/\{a^{2}+a\colon a\in K\}}$ 속에서 취한 이 합은 ${\displaystyle Q}$의 불변량이다. 이를 ${\displaystyle Q}$의 아르프 불변량이라고 한다.

특히, 만약 ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{2}}$일 경우 ${\displaystyle \{a^{2}+a\colon a\in \mathbb {F} _{2}\}=\{0\}}$이므로, 아르프 불변량은 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$의 원소가 된다.

성질

${\displaystyle K}$가 표수 2의 완전체라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 비특이 이차 형식의 동형류들은 항상 그 차원과 아르프 불변량에 대하여 완전히 결정된다. (그러나 이는 완전체가 아닌 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)

역사

자히트 아르프가 1941년에 도입하였다.^[1][2][3]

응용

아르프 불변량은 매듭 이론 및 ${\displaystyle 4k+2}$의 꼴의 차원의 매끄러운 다양체의 분류에 등장한다.

각주

1. Arf, Cahit (1941). “Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2 (Teil Ⅰ)”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 183: 148–167. doi:10.1515/crll.1941.183.148. ISSN 0075-4102. Zbl 0025.01403. 
2. Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2010년 4월). “On the Arf invariant in historical perspective”. 《Mathematische Semesterberichte》 (영어) 57 (1): 73–102. doi:10.1007/s00591-011-0085-y. ISSN 0720-728X. Zbl 1201.01015. 
3. Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2011년 10월). “On the Arf invariant in historical perspective, part 2”. 《Mathematische Semesterberichte》 (영어) 58 (2): 125–136. doi:10.1007/s00591-011-0085-y. ISSN 0720-728X. Zbl 1244.11032. 

외부 링크

• “Arf-invariant”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Arf invariant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Arf invariant”. 《nLab》 (영어). 
• Lorenz, Falko; Roquette, Peter (2011년 6월 17일). “Cahit Arf and his invariant” (PDF) (영어).