알틴 상수

알틴 상수(Artin Constant) 또는 아르틴 상수는 에밀 아르틴 (Emil Artin)의 이름에서 명명되었다.^[1]

${\displaystyle C_{A}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{1} \over {P_{n}(P_{n}-1)}}\right)=0.3739558136....(OEISA005596)}$

이것은 프라임 제타 함수 ${\displaystyle P(n)}$와 연결된다.

${\displaystyle lnC_{A}=-\sum _{n=2}^{\infty }{{(L_{n}-1)P(n)} \over {n}}}$

${\displaystyle L_{n}}$ 뤼카 수 ${\displaystyle ,ln}$ 자연로그

알틴상수와 자연로그 지수함수

${\displaystyle C_{A}=\prod _{p=prime}^{}\left(1-{{1} \over {p(p-1)}}\right)}$

${\displaystyle \;\;\;=\prod _{p=prime}^{}\left(1-{{1} \over {p^{2}-p}}\right)}$

${\displaystyle \;\;\;=\prod _{p=prime}^{}\left({{p^{2}-p-1} \over {p^{2}-p}}\right)}$

${\displaystyle \;\;\;=\prod _{p=prime}^{}\left({{\left((p+1)(p-1)\right)-p} \over {p^{2}-p}}\right)}$

${\displaystyle \;\;\;=exp\left(\sum _{p=prime}^{}ln(\left((p+1)(p-1)\right)-p)-ln(p^{2}-p)\right)}$

스트븐스 상수 형식의 알틴상수

알틴상수의 스티븐스 상수 접근표현

${\displaystyle C_{A}=\prod _{p=prime}^{}\left(1-{{1} \over {p(p-1)}}\right)}$

${\displaystyle \;\;\;=\prod _{p=prime}^{}\left({{p^{2}-p-1} \over {p^{2}-p}}\right)}$

${\displaystyle \;\;\;=\prod _{p=prime}^{}\left({{(p^{2}-1)-p} \over {p(p-1)}}\right)}$

${\displaystyle \;\;\;=\prod _{p=prime}^{}\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{p} \over {p(p-1)}}\right)}$

${\displaystyle \;\;\;=\prod _{p=prime}^{}\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {(p-1)}}\right)}$

알틴상수의 스티븐스상수 연결표현

${\displaystyle C_{A}}$알틴상수 ${\displaystyle ,C_{S}}$ 스티븐스 상수

${\displaystyle C_{A}=\prod _{p=prime}^{}\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {(p-1)}}\right)}$

${\displaystyle C_{S}=\prod _{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {p^{2}(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)}$

${\displaystyle \left({{1} \over {(p-1)}}\right)+x=\left({{1} \over {p^{2}(p-1)}}\right)}$

${\displaystyle x=\left({{1} \over {p^{2}(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {(p-1)}}\right)}$

${\displaystyle x=\left({{p-1-p^{2}(p-1)} \over {p^{2}(p-1)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle x=\left({{(p-1)-p^{2}(p-1)} \over {p^{2}(p-1)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle x=\left({{(p-1)\left(1-p^{2}\right)} \over {p^{2}(p-1)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle x=\left({{\left(1-p^{2}\right)} \over {p^{2}(p-1)}}\right)}$

${\displaystyle C_{S}=\prod _{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {(p-1)}}\right)+\left({{\left(1-p^{2}\right)} \over {p^{2}(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)}$

${\displaystyle \;\;\;=\prod _{p}\left(C_{A}+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)}$

2급 알틴상수

2급 알틴상수(Rank 2 Artin constant)^[2][3]

${\displaystyle C_{A2}=\prod _{p}^{}\left(1-{{1} \over {p^{2}(p-1)}}\right)}$

같이 보기

• 뤼카 수
• L-함수
• 프라임 제타 함수
• 브룬 상수
• 란다우 토션트 상수

각주

1. Artin, E. "Collected Papers" (Ed. S. Lang and J. T. Tate). New York: Springer-Verlag, pp. viii-ix, 1965.
2. (OEIS)https://oeis.org/A065414
3. (http://mathworld.wolfram.com/TotientSummatoryFunction.html)Niklasch^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}, G. "Some Number-Theoretical Constants." http://www.gn-50uma.de/alula/essays/Moree/Moree.en.shtml Archived 2006년 6월 12일 - 웨이백 머신.

참고

• (OEIS)http://oeis.org/A005596
• (OEIS)http://oeis.org/A001122
• (OEIS)http://oeis.org/A065414
• (매스월드) http://mathworld.wolfram.com/ArtinsConstant.html
• (매스월드) http://mathworld.wolfram.com/FullReptendPrime.html
• (OEIS)https://oeis.org/A065414 (rank 2 Artin constant)