양의 정부호 함수

수학에서, 양의 정부호 함수(영어: positive-definite function)는 음이 아닌 함수의 푸리에 변환으로 볼 수 있는 복소함수이다.

정의

국소 콤팩트 아벨 위상군 ${\displaystyle (G,+)}$ 위의 함수 ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }$가 다음 성질을 만족시킨다면, ${\displaystyle f}$를 양의 정부호 함수라고 한다.

• (켤레 짝함수성) 모든 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, ${\displaystyle f(-g)={\overline {f(g)}}}$
• (준정부호성) 모든 유한 부분집합 ${\displaystyle \{g_{1},\dots ,g_{n}\}\subset G}$에 대하여, ${\displaystyle n\times n}$ 에르미트 행렬 ${\displaystyle M_{ij}=f(g_{i}-g_{j})}$가 양의 준정부호 행렬이다.

성질

보흐너 정리(영어: Bochner’s theorem)에 따라서, ${\displaystyle G}$ 위의 양의 정부호 함수의 푸리에 변환은 그 폰트랴긴 쌍대군 ${\displaystyle {\hat {G}}}$ 위의 양의 유한 보렐 측도를 이루며, 그 역 또한 성립한다.

양의 정부호 함수 ${\displaystyle f,g}$에 대하여,

• ${\displaystyle a,b\in [0,\infty )}$에 대하여, ${\displaystyle af+bg}$는 양의 정부호이다. 즉, 양의 정부호 함수들은 음이 아닌 계수의 선형결합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 이들은 뿔(cone)을 이룬다.
• ${\displaystyle fg}$는 양의 정부호이다.
• ${\displaystyle {\overline {f}}}$는 양의 정부호이다.

모든 양의 정부호 함수 ${\displaystyle f}$에 대하여, 다음이 성립한다. (이는 양의 정부호 함수의 정의에서, ${\displaystyle n=1,2}$인 경우에서 유래한다.)

• ${\displaystyle f(0)\geq 0}$
• 모든 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, ${\displaystyle |f(x)|\leq f(0)}$

예

양의 정부호 함수의 대표적인 예는 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 가우스 핵

${\displaystyle \exp(-|x|^{2}/2\sigma )}$

이다. 가우스 핵의 푸리에 변환은 다른 가우스 핵이므로, 보흐너 정리에 따라 이는 양의 정부호임을 쉽게 알 수 있다.

다른 예로는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위의 ${\displaystyle \exp(-|x|)}$, ${\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}x}$, 삼각형함수 ${\displaystyle \operatorname {tri} (x)}$ 등이 있다. 이들 역시 푸리에 변환을 통해 쉽게 확인할 수 있다. 실수가 아닌 양의 정부호 함수로는 ${\displaystyle \exp(iax)}$가 있다.

음이 아닌 상수함수 ${\displaystyle f(x)=a}$ (${\displaystyle a\geq 0}$)는 자명하게 양의 정부호 함수이다. 이 경우, ${\displaystyle n\times n}$ 행렬 ${\displaystyle f(x_{i}-x_{j})=a}$의 모든 원소가 ${\displaystyle a}$이며, 이 행렬의 고윳값은 ${\displaystyle an}$ (중복도 1)과 ${\displaystyle 0}$ (중복도 ${\displaystyle n-1}$)이다. 따라서 이 행렬은 양의 준정부호다.

참고 문헌

• Berg, Christian; Jens Peter Reus Christensen, Paul Ressel. 《Harmonic Analysis on Semigroups》. Graduate Texts in Mathematics (영어). Springer.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Sasvári, Z. (1994). 《Positive definite and definitizable functions》 (영어). Akademie Verlag. 
• Wells, J. H.; L. R. Williams (1975). 《Embeddings and extensions in analysis》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 84. Springer.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

외부 링크

• “Positive-definite function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Positive definite function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.