에일렌베르크-스틴로드 공리

수학에서 에일렌베르크-스틴로드 공리(영어: Eilenberg–Steenrod axioms)는 상대 호몰로지가 만족하는 다섯 개의 공리다.

역사

사무엘 에일렌베르크와 노먼 스틴로드가 1945년에 발표하였다.^[1]

정의

상대 호몰로지는 부분공간이 갖추어진 위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top^{2}} }$에서 아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$로 가는 일련의 함자 ${\displaystyle H_{n}}$과 이들 함자 사이의 자연 변환 ${\displaystyle \partial _{n}\colon H_{n}\to H_{n-1}}$로 구성된다.

이 데이터가 보통 호몰로지 이론(영어: ordinary homology theory)을 이루려면, 다음과 같은 다섯 개의 공리를 만족해야 한다. 만약 차원 공리를 제외한 나머지 공리들을 만족시지만 차원 공리는 성립하지 않는다면, 이를 특수 호몰로지 이론(영어: extraordinary homology theory)이라고 한다.

1. (호모토피 불변성) ${\displaystyle g,h\colon (X,A)\to (Y,B)}$가 서로 호모토픽하다면, ${\displaystyle H_{\bullet }(f)=H_{\bullet }(g)}$이다. 즉, 이 함자는 부분집합이 갖추어진 위상 공간과 그 호모토피들의 범주 ${\displaystyle \operatorname {hTop^{2}} }$에 정의된다.
2. (절단 정리) ${\displaystyle \operatorname {cl} (U)\subset \operatorname {int} (A)}$라면 ${\displaystyle H_{\bullet }(X,A)=H_{\bullet }(X\setminus U,A\setminus U)}$이다.
3. (차원 공리) ${\displaystyle P}$가 점 하나만을 포함한 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle n\neq 0}$인 경우 ${\displaystyle H_{n}(P,\varnothing )=0}$이다.
4. (가법성) ${\displaystyle X=\bigsqcup _{\alpha }X_{\alpha }}$가 집합들의 서로소 합집합이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle H_{\bullet }(X,\varnothing )=\bigoplus _{\alpha }H_{\bullet }(X_{\alpha },\varnothing )}$이다.
5. (완전성) 다음과 같은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A,\varnothing )\to H_{n}(X,\varnothing )\to H_{n}(X,A)\to H_{n-1}(A,\varnothing )\to H_{n-1}(X,\varnothing )\to H_{n-1}(X,A)\to \cdots }$.

이와 유사하게 보통 코호몰로지 이론 및 특수 코호몰로지 이론도 정의할 수 있다.

예

흔히 다루는 특이 호몰로지, 체흐 코호몰로지, 드람 코호몰로지 등은 보통 (코)호몰로지 이론이다. K이론은 특수 코호몰로지 이론의 한 예다.

같이 보기

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각주

1. Eilenberg, Samuel; Norman E. Steenrod (1945년 4월 1일). “Axiomatic Approach to Homology Theory”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 31 (4): 117–120. doi:10.1073/pnas.31.4.117.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) 재출판 Eilenberg, Samuel; Norman E. Steenrod (1972). 〈An axiomatic approach to homology theory〉. 《Algebraic Topology: A Student's Guide》 (영어). London Mathematical Society Lecture Note Series 4. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511662584.003. ISBN 9780521080767.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)