위너 공간

확률론에서 위너 공간(Wiener空間, 영어: Wiener space) 또는 추상 위너 공간(抽象Wiener空間, 영어: abstract Wiener space)은 일종의 “정규 분포”에 해당하는 확률 측도를 갖춘, 무한 차원일 수 있는 바나흐 공간이다.^[1]:§1.1[2] 일반적으로, 르베그 측도의 일반화는 무한 차원에서 존재하지 않으며, 또한 힐베르트 공간 위의 가우스 분포 역시 무한 차원에서는 존재하지 않는다. (이러한 “측도”는 유한 가법 측도로 구성할 수 있으나, 가산 무한 가법성이 일반적으로 성립하지 않는다.) 그러나 힐베르트 공간을 내적과 다른 어떤 특별한 노름으로 완비화하면, 이렇게 하여 얻는 바나흐 공간 위에 가우스 분포의 확률 측도를 정의할 수 있으며, 위너 공간은 이러한 구성이 가능한 바나흐 공간을 일컫는다.

정의

위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

• 위너 공간은 그 측도의 푸리에 변환이 가우스 함수를 이룬다는 조건으로 추상적으로 정의할 수 있다.
• 위너 공간은 힐베르트 공간으로부터 구체적으로 정의할 수 있다.

이 두 정의는 서로 동치이다.

푸리에 변환을 통한 정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 분해 가능 실수 바나흐 공간 ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle E}$의 보렐 시그마 대수 위의 확률 측도 ${\displaystyle \mu }$
• 분해 가능 실수 힐베르트 공간 ${\displaystyle (H,\langle |\rangle )}$
• 단사 연속 실수 선형 변환 ${\displaystyle \iota \colon H\hookrightarrow E}$. (이는 등거리 변환일 필요가 없다.) 또한, 그 상이 조밀 집합이라고 하자.

그렇다면, ${\displaystyle H\subseteq E}$이므로

${\displaystyle E^{*}\subseteq H^{*}=H}$

이며, ${\displaystyle E^{*}}$는 ${\displaystyle H}$의 조밀 집합을 이룬다. (여기서 ${\displaystyle (-)^{*}}$는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)

만약

${\displaystyle \int _{E}\exp(\mathrm {i} \langle \lambda |x\rangle )\,\mathrm {d} \mu (x)=\exp \left(-{\frac {\langle \lambda |\lambda \rangle _{H}}{2}}\right)\qquad \forall \lambda \in E^{*}\subseteq H}$

라면, ${\displaystyle (E,\mu ,H)}$가 위너 공간이라고 한다.

구체적 정의

위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다.

분해 가능 실수 힐베르트 공간 ${\displaystyle H}$ 위의 기둥 집합의 족 ${\displaystyle \operatorname {Cyl} (H)}$ 위에, 다음과 같은 유한 가법 측도를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (H)\to [0,1]}$

${\displaystyle \nu \colon P^{-1}(S)\mapsto (2\pi )^{n/2}\int _{S}\exp(-x^{2}/2)\,\mathrm {d} ^{n}x\qquad (P\colon H\to \mathbb {R} ^{n},\;S\in \operatorname {Borel} (\mathbb {R} ^{n}))}$

특히,

${\displaystyle \nu (H)=1}$

${\displaystyle \nu (\varnothing )=0}$

이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, 측도를 이루지 못한다. 즉, 이는 ${\displaystyle \sigma (\operatorname {Cyl} (H))=\operatorname {Borel} (H)}$ 위의 (가산 가법) 측도의 제한이 아니다. 이를 ${\displaystyle H}$ 위의 기둥 집합 측도(영어: cylinder-set measure)라고 한다.

${\displaystyle H}$ 위의 (내적 노름과 다를 수 있는) 노름 ${\displaystyle \|-\|}$이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 유한 차원 부분 공간들의 열

${\displaystyle V_{1}\leq V_{2}\leq \dotsb \leq H}$

이 존재한다면, 이를 가측 노름(영어: measurable norm)이라고 한다.

임의의 유한 차원 부분 공간 ${\displaystyle W\subseteq H}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle W\perp V_{n}}$이라면, ${\displaystyle \nu (\{x\in H\colon \|\operatorname {proj} _{W}x\|>2^{-n}\})<2^{-n}}$이다.

${\displaystyle H}$의, 어떤 가측 노름 ${\displaystyle \|-\|}$에 대한 완비화인 바나흐 공간

${\displaystyle H\subseteq E}$

가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle B^{*}\subseteq H^{*}\cong H}$이므로,

${\displaystyle \{H\cap C\colon C\in \operatorname {Cyl} (E)\}\subseteq \operatorname {Cyl} (H)}$

이다.

그렇다면, ${\displaystyle E}$의 기둥 집합의 족 ${\displaystyle \operatorname {Cyl} (E)}$ 위에 다음과 같은 측도를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (E)\to [0,1]}$

${\displaystyle \nu \colon \phi ^{-1}(S)\mapsto \nu (H\cap \phi ^{-1}(S))\qquad \forall \phi \colon B\to \mathbb {R} ^{n}}$

이는 ${\displaystyle \operatorname {Cyl} (E)}$로 생성되는 시그마 대수

${\displaystyle \sigma (\operatorname {Cyl} (E))=\operatorname {Borel} (E)}$

위에 가산 가법으로 유일하게 확장될 수 있다. 즉, 이는 가측 공간 ${\displaystyle (E,\operatorname {Borel} (E))}$ 위의 확률 측도를 이룬다. 그렇다면, ${\displaystyle (E,H,\mu )}$를 위너 공간이라고 한다.

성질

위너 공간 ${\displaystyle (E,\mu ,H)}$가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 범함수 ${\displaystyle \phi \in E^{*}}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위의 측도 ${\displaystyle \phi _{*}\mu }$의 분포 함수는 평균이 0인 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위의 정규 분포에 비례한다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle \mu (\phi ^{-1}(S))=\int _{S}C\exp(-x^{2}/2\sigma ^{2}),\mathrm {d} x\,\qquad (C\geq 0,\;\sigma ^{2}>0)}$

또한, 만약 ${\displaystyle \phi \neq 0}$라면, ${\displaystyle C>0}$이다.

존재

임의의 분해 가능 바나흐 공간 ${\displaystyle E}$에 대하여, 그 위의 위너 공간 구조 ${\displaystyle (\mu ,H)}$가 적어도 하나 이상 존재한다.^{:Theorem 4.47}

페일리-위너 적분

위너 공간 ${\displaystyle (E,\mu ,H)}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle E^{*}\subseteq H\subseteq E}$

가 성립한다. 또한,

${\displaystyle E^{*}\subseteq \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}$

임을 보일 수 있으며, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \|\phi \|_{\operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}={\sqrt {\langle \phi |\phi \rangle _{H}}}}$

다시 말해, 등거리 변환인 선형 변환

${\displaystyle E^{*}\to \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}$

이 존재한다. ${\displaystyle E^{*}}$는 ${\displaystyle H}$의 조밀 집합이므로, 이를 ${\displaystyle H}$ 전체로 확장할 수 있다. 즉, 등거리 변환인 단사 선형 변환

${\displaystyle I\colon H\to \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}$

이 존재한다. 이를 페일리-위너 사상(영어: Paley–Wiener map)이라고 한다. 이에 따라서, 임의의 ${\displaystyle h\in H}$ 및 ${\displaystyle x\in E}$에 대하여

${\displaystyle I_{h}(x)\in \mathbb {R} }$

를 정의할 수 있다. 이를 페일리-위너 적분(영어: Paley–Wiener integral)이라고 한다.

캐머런-마틴 정리

위너 공간 ${\displaystyle (E,\mu ,H)}$ 및 ${\displaystyle h\in H}$에 대하여, 다음을 정의하자.

${\displaystyle (+h)\colon E\to E}$

${\displaystyle (+h)\colon x\mapsto x+h}$

그렇다면, ${\displaystyle E}$ 위의 보렐 확률 측도

${\displaystyle \mu _{h}=(+h)_{*}\mu \colon \operatorname {Borel} (E)\to [0,1]}$

를 정의할 수 있다. 이 경우, 라돈-니코딤 도함수

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu _{h}}{\mathrm {d} \mu }}}$

는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu _{h}}{\mathrm {d} \mu }}=\exp \left(I_{h}(x))-{\frac {1}{2}}\langle h|h\rangle \right)}$

여기서 ${\displaystyle I_{h}(x)}$는 페일리-위너 적분이다. 이를 캐머런-마틴 정리(영어: Cameron–Martin theorem)라고 한다.

연산

두 위너 공간 ${\displaystyle (E,\mu ,H)}$, ${\displaystyle (E',\mu ',H')}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle (E\oplus E',H\oplus H')}$ 위에 다음 조건으로 결정되는 위너 공간 구조가 존재한다.

${\displaystyle \mu (S\times S')=\mu _{E}(S)\mu _{E'}(S')\qquad \forall S\in \operatorname {Borel} (E),\;S'\in \operatorname {Borel} (E')}$

예

만약 ${\displaystyle H}$가 유클리드 공간(즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이며, ${\displaystyle H=E}$라고 하자. 이 경우, ${\displaystyle H}$ 위의 위너 공간 구조의 개념은 ${\displaystyle H}$ 위의, 평균이 0인 정규 분포와 같다.

고전 위너 공간

다음과 같은 바나흐 공간을 생각하자.

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\colon f(0)=0\}}$

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})}=\max _{[0,T]}\|f\|_{\mathbb {R} ^{n}}}$

그렇다면, 그 속에 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {W} _{0}^{1,2}\left([0,T],\mathbb {R} ^{n}\right)=\operatorname {W} ^{1,2}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\cap {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n}),\;\mathrm {d} f/\mathrm {d} t\in \operatorname {L} ^{2}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {W} ^{1,2}(-)}$는 소볼레프 공간이다. 즉, 이 부분 공간의 원소는 거의 어디서나 1차 도함수를 가지며, 그 1차 도함수는 르베그 공간 ${\displaystyle \operatorname {W} _{0}^{1,2}([0,T],\mathbb {R} ^{2})}$의 원소이다. (도함수의 L² 노름의 제곱은 에너지라고 하며, 따라서 ${\displaystyle \operatorname {L} _{0}^{2,1}}$의 원소는 유한 에너지 경로(영어: finite-energy path)라고 한다.) 이는 조밀 집합이며, 그 위에 다음과 같은 힐베르트 공간 구조를 줄 수 있다.

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{\operatorname {L} _{0}^{2,1}\left([0,1],\mathbb {R} ^{n}\right)}=\int _{0}^{T}\langle {\dot {f}}(t),{\dot {g}}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,\mathrm {d} t}$

이제, 임의의 확률 공간 ${\displaystyle \Omega }$ 및 위너 과정

${\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n})_{t\in [0,T]}}$

을 생각하자. ${\displaystyle W}$의 궤적은 거의 확실하게 연속 함수이므로, 그 궤적들의 확률 분포는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})}$ 위의 측도를 정의한다. 즉, 임의의 보렐 집합 ${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})}$에 대하여,

${\displaystyle \mu (S)=\Pr(W\in S)}$

로 놓는다.

그렇다면, ${\displaystyle ({\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n}),\mu ,\operatorname {L} _{0}^{2,1}\left([0,1],\mathbb {R} ^{n}\right))}$는 위너 공간을 이룬다. 이를 고전 위너 공간(古典Wiener空間, 영어: classical Wiener space)이라고 한다.

브라운 다리

원을

${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=[0,1]/(0\sim 1)}$

로 정의하자.

L^∞ 노름을 가진, 초가 값이 주어진 주기 함수들의 바나흐 공간

${\displaystyle E={\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})\colon f(0)=f(1)=0\}}$

을 생각하자. 이 위에, 부분 공간

${\displaystyle H=\operatorname {W} _{0}^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})=\operatorname {W} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})\cap E}$

을 생각하자. 이는 내적

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\oint {\dot {f}}{\dot {g}}}$

에 의하여 힐베르트 공간을 이룬다.

${\displaystyle E}$ 위에, 확률 과정

${\displaystyle X_{t}=W_{t}-tW_{1}}$

의 법칙으로 주어지는 확률 측도를 부여하자. 여기서 ${\displaystyle W_{t}}$는 위너 과정이다. 그렇다면, ${\displaystyle (E,H)}$는 위너 공간을 이룬다.^:§4.4

힐베르트 공간 위의 위너 공간 구조

분해 가능 힐베르트 공간 ${\displaystyle H}$ 및 에르미트 양의 정부호 힐베르트-슈미트 작용소 ${\displaystyle A\colon H\to H}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 노름

${\displaystyle \|x\|_{A}=\langle Ax|Ax\rangle _{H}}$

을 정의할 수 있다. 이는 가측 노름임을 보일 수 있으며, 이렇게 하여 정의된 위너 공간 ${\displaystyle (E,\mu ,H)}$에서 ${\displaystyle E}$ 역시 힐베르트 공간을 이룬다.^{:Corollary 4.62} 반대로, 임의의 위너 공간 ${\displaystyle (E,\mu ,H)}$에서 ${\displaystyle E}$가 힐베르트 공간이라면, 이는 항상 위와 같은 꼴로 표현된다.^{:Corollary 4.62}

역사

고전 위너 공간은 노버트 위너가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스(영어: Leonard Gross)가 (추상적) 위너 공간의 개념을 도입하였다.^[3]

페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(영어: Raymond Edward Alan Christopher Paley, 1907〜1933)와 노버트 위너의 이름을 땄다.

캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런(영어: Robert Horton Cameron, 1908〜1989)과 윌리엄 테드 마틴(영어: William Ted Martin, 1911〜2004)이 증명하였다.

참고 문헌

1. Bell, Denis R. (1987). 《The Malliavin calculus》. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics (영어) 34. John Wiley. ISBN 0-582-99486-1. MR 2250060. 
2. Eldredge, Nathan (2016). “Analysis and probability on infinite-dimensional spaces”. arXiv:1607.03591. 
3. Gross, Leonard (1967). 〈Abstract Wiener spaces〉 (PDF). Le Cam, Lucien M.; Neyman, Jerzy. 《Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Volume Ⅱ. Part Ⅰ. Contributions to probability theory》 (영어). University of California Press. 31–42쪽. MR 212152. ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}

외부 링크

• Sengupta, Ambar N. (2012년 3월 17일). “Abstract Wiener spaces in a few slides” (PDF) (영어). 
• Oh, Tadahiro. “Ornstein–Uhlenbeck process on abstract Wiener spaces, hpercontractibility, and logarithmic Sobolev inequality” (PDF) (영어).