위상 양자장론

물리학과 수학에서 위상 양자장론(位相量子場論, 영어: topological quantum field theory, 약자 TQFT)은 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론이다. 미분구조조차 고려하지 않는 위상다양체에서 하는 것은 아니고, 정확히는 리만 계량을 고려하지 않는 미분다양체위에서 하므로 위상 양자장론보다는 미분 위상 양자장론이 더 어울리는 이름이다. 입자 물리학과 끈 이론, 응집물질물리학과 대수적 위상수학, 매듭 이론에서 쓰인다.

정의

대부분의 양자장론은 그 관측가능량(상관 함수 등)이 시공간의 계량 텐서(중력장)에 의존한다. 관측가능량이 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론을 위상 양자장론이라고 한다.

오늘날 알려진 위상 양자장론은 시바르츠형(Schwarz-type)과 코호몰로지형(영어: cohomological, 또는 위튼형 Witten-type)) 크게 두 종류가 있다.

시바르츠형 위상 양자장론

시바르츠형 위상 양자장론은 계량 텐서를 포함하지 않는 작용으로 나타내어진다.^[1] ${\displaystyle d}$차원 시공간에서, ${\displaystyle d}$차 미분형식을 적분하려면 계량 텐서가 필요하지 않다. 따라서 미분 형식을 장으로 하는 이론을 적을 수 있다. 이런 모형에는 천-사이먼스 이론과 BF 모형 등이 있다.

알베르트 시바르츠가 1977년에 최초의 시바르츠형 위상 양자장론을 발표하였고,^[2] 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle S=\int _{M}A\wedge dA}$.

여기서 ${\displaystyle A}$는 1차 미분형식이고, ${\displaystyle M}$은 3차원 시공간이다. 이 모형을 비아벨 게이지 대칭에 대하여 일반화하면 천-사이먼스 이론을 얻는다.

코호몰로지형 위상 양자장론

코호몰로지형 위상 양자장론 또는 위튼형 위상 양자장론은 일반적으로 계량 텐서를 포함하는 이론에 위상 뒤틂(topological twist)을 가하여 만든다.^[3]

에드워드 위튼이 1988년 최초의 예를 발표하였다.^[4] 위튼은 4차원 ${\displaystyle N=2}$ 초대칭 게이지 이론에 위상 뒤틂을 가하여, 이 이론이 도널드슨 불변량을 재현함을 보였다.

시바르츠형 위상 양자장론은 특성류를 기반으로 하여, 일반적인 (위상) 다양체 위에 정의할 수 있지만, 코호몰로지형 위상 양자장론은 그 매끄러운 다양체 구조를 필요로 한다. 즉, 서로 위상동형이지만 다른 미분 구조를 가진 두 매끄러운 다양체를 코호몰로지형 위상 양자장론으로 구별할 수 있다.

d차원 코호몰로지형 위상 양자장론은 푸앵카레 대칭의 표현을 갖춘 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$와, 다음과 같은 두 연산자 ${\displaystyle Q,G_{\mu }}$로 구성된다.^[5]:63–66

${\displaystyle \{Q,Q\}=\{G_{\mu },G_{\nu }\}=0}$

${\displaystyle \{Q,G_{\mu }\}=P_{\mu }}$

여기서 ${\displaystyle P_{\mu }}$는 병진(translation) 대칭의 생성원이다. 이 두 연산자 ${\displaystyle Q,G_{\mu }}$는 스칼라/벡터 "초대칭"으로 생각할 수 있다. (일반적인 초대칭 연산자는 스칼라나 벡터가 아니라 스핀 ½의 스피너이다.) 또한, 진공 상태 ${\displaystyle |0\rangle }$가 ${\displaystyle Q}$에 대하여 불변이라고 하자 (즉, 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않는다).

${\displaystyle Q|0\rangle =0}$

그렇다면 ${\displaystyle Q}$를 BRST 연산자로 생각하여, 물리적 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{phys}}}$을 ${\displaystyle Q}$에 대한 코호몰로지로 정의한다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{phys}}=H_{Q}({\mathcal {H}})=\ker Q/\operatorname {im} Q}$

또한, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 위의 연산자들에 대해서도 ${\displaystyle [Q,\cdot \}}$에 대한 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우, 관측 가능량들의 공간은 ${\displaystyle Q}$에 대한 연산자 코호몰로지이다. 즉, 물리적인 관측 가능량은 ${\displaystyle Q}$에 대하여 닫혀 있다.

주어진 물리적 스칼라 연산자 ${\displaystyle O^{(0)}}$에 대하여, ${\displaystyle G_{\mu }}$를 가해 다음과 같은 연산자들을 추가로 정의할 수 있다.

${\displaystyle O^{(i+1)}=[G,O^{(i)}]}$

${\displaystyle O^{(i)}}$는 ${\displaystyle i}$차 미분형식을 이루며, 다음과 같은 내림 방정식(영어: descent equation)을 만족시킨다. 이는 야코비 항등식으로부터 유도할 수 있다.

${\displaystyle dO^{(i)}=[Q,O^{(i+1)}]}$

따라서 ${\displaystyle i>0}$의 경우, ${\displaystyle O^{(i)}}$는 ${\displaystyle Q}$에 대하여 닫혀 있지 않고, 관측 가능량을 이루지 않는다. 다만, 시공간 ${\displaystyle M}$의 임의의 ${\displaystyle i}$차 호몰로지 ${\displaystyle C_{i}\in H_{i}(M;\mathbb {Z} )}$에 대하여 모자곱을 취하면 이는 관측 가능량을 이루게 된다. 즉,

${\displaystyle \int _{C_{i}}O^{(i)}}$

은 관측 가능량이다. 따라서, 다음과 같은 꼴의 상관 함수들을 계산할 수 있다.

${\displaystyle \left\langle \cdots \int _{C_{i}}O^{(i)}\cdots \right\rangle }$

예를 들어, 도널드슨 불변량을 이러한 형태의 상관 함수로 나타낼 수 있다.

아티야 공리계

마이클 아티야는 위상 양자장론을 수학적으로 정의하기 위하여 다음과 같은 공리계를 제안하였다.^[6] 이에 따라, ${\displaystyle d+1}$차원 위상 양자장론은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 모든 ${\displaystyle d}$차원 콤팩트 (경계가 없는) 유향 다양체 ${\displaystyle Y}$에 대하여, 복소^[7] 벡터 공간인 상태 공간 ${\displaystyle E(Y)}$
• 모든 ${\displaystyle d+1}$차원 (경계를 가진) 유향 다양체 ${\displaystyle (X,\partial X)}$에 대하여, 경로 적분 ${\displaystyle Z(X)\in E(\partial X)}$

이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다.

1. (함자성)
   1. (공간 대칭의 작용) 임의의 방향을 보존시키는 미분 동형 ${\displaystyle f\colon Y\to Y'}$에 대하여, 벡터 공간의 동형사상 ${\displaystyle E(f)\colon E(Y)\to E(Y')}$가 존재한다.
   2. (시공간 대칭의 작용) 또한, 임의의 방향 및 경계를 보존시키는 미분 동형 ${\displaystyle g\colon X\to X'}$에 대하여, ${\displaystyle E(f|_{\partial X})\colon Z(X)\mapsto Z(X')}$이다.
2. (대합성) ${\displaystyle -Y}$를 ${\displaystyle Y}$에 반대 방향을 준 유향 다양체라고 한다면, ${\displaystyle E(-Y)=E(Y)^{*}}$이다. 여기서 ${\displaystyle V^{*}}$는 ${\displaystyle V}$의 쌍대 공간이다.
3. (승법성)
   1. (상태 공간의 승법성) ${\displaystyle E(Y\sqcup Y')=E(Y)\otimes E(Y')}$
   2. (짜깁기 법칙 영어: sewing law) ${\displaystyle \partial X_{1}=Y_{1}\sqcup Y_{3}}$, ${\displaystyle \partial X_{2}=Y_{2}\sqcup -Y_{3}}$이라면, ${\displaystyle X_{1}}$과 ${\displaystyle X_{2}}$를 ${\displaystyle Y_{3}}$으로 이어붙여 ${\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}}$, ${\displaystyle \partial X=Y_{1}\sqcup Y_{2}}$를 만들 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle Z(X)=\langle Z(X_{1}),Z(X_{2})\rangle }$이다. 여기서 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon E(Y_{1})\otimes E(Y_{3})\otimes E(Y_{3})^{*}\otimes E(Y_{2})\to E(Y_{1})\otimes E(Y_{2})}$는 ${\displaystyle E(Y_{3})}$의 내적이다.
4. (비자명성)
   1. (상태 공간의 비자명성) ${\displaystyle E(\varnothing )=\mathbb {C} }$이다.
   2. (경로 적분의 비자명성) ${\displaystyle Z(\varnothing )=1}$이다.
   3. (시간 변화) ${\displaystyle Z(Y\times [0,1])=\operatorname {Id} _{E(Y)}\in E(Y)\otimes E(Y)^{*}}$이다. 여기서 ${\displaystyle [0,1]}$은 닫힌 구간이고, ${\displaystyle \operatorname {Id} _{E(Y)}\colon E(Y)\to E(Y)}$는 ${\displaystyle E(Y)}$의 항등함수다.

일반적인 양자역학과 달리, 위상 양자장론의 상태 공간 ${\displaystyle E(Y)}$에는 내적이 일반적으로 주어져 있지 않다. 일반적으로, 양자역학에서는 관측가능량 및 해밀토니언을 정의하기 위하여 에르미트 연산자의 개념이 필요하고, 이를 정의하려면 상태공간과 그 쌍대공간의 동형사상 ${\displaystyle E(Y)\cong E^{*}(Y)}$이 필요하다. 그러나 위상 양자장론에서는 해밀토니언이 항상 0이므로 이 개념이 필요없다.

다양한 차원에서의 위상 뒤틂

초대칭 이론의 위상 뒤틂은 2차원~4차원에서 가능하다.

2차원 𝒩=(2,2) 위상 뒤틂

 이 부분의 본문은 위상 끈 이론입니다.

2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$ 초등각 장론의 R대칭은 U(1)²이며, 두 개의 위상 뒤틂이 존재한다. 이를 A-뒤틂(영어: A-twist) 및 B-뒤틂(영어: B-twist)라고 하며, 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형을 이렇게 뒤틀면 두 개의 위상 끈 이론을 얻는다. 이들 사이에는 거울 대칭이라는 관계가 존재한다.

4차원 𝒩=2 위상 뒤틂

4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초대칭은 SU(2) R대칭을 가지므로, 유일한 위상 뒤틂을 갖는다. SU(2) 초대칭 게이지 이론을 뒤틀면 도널드슨 이론을 얻는다.

4차원 𝒩=4 위상 뒤틂

코호몰로지형 위상 양자장론의 대표적인 예는 위상 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초대칭 게이지 이론의 위상 뒤틂이다. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 양-밀스 이론의 대칭군은

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{l}}\times \operatorname {SU} (2)_{\text{r}}\times \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}}$

이다. 여기서 SU(2)_l×SU(2)_r=Spin(4)는 (유클리드) 로런츠 대칭이며, SU(4)는 R대칭이다. 초전하 ${\displaystyle (Q,{\bar {Q}})}$는 표현

${\displaystyle (1/2,0,\mathbf {4} )\oplus (0,1/2,\mathbf {4} )}$

를 따른다. (SU(2) 표현은 스핀 ${\displaystyle j=0,1/2,1,3/2,\dots }$으로 표기하였고, 다른 군의 표현은 그 차원을 굵은 글씨로 표기하였다.) 따라서, 위상 뒤틂은 군 준동형

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{{\text{l}}'}\times \operatorname {SU} (2)_{{\text{r}}'}\to \operatorname {SU} (2)_{\text{l}}\times \operatorname {SU} (2)_{\text{r}}\times \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}}$

에 의하여 정의되며, 이 가운데 초전하 ${\displaystyle (Q,{\bar {Q}})}$의 성분 가운데 적어도 하나가 새 로런츠 군에 대하여 스칼라가 되어야 한다. 이러한 위상 뒤틂은 3가지가 있으며, 다음과 같다.^{[8]:Table 6}

이름	정의	성질	문헌
도널드슨-위튼(영어: Donaldson–Witten)	${\displaystyle \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}\supset \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {U} (1)}$, 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음	자기 홀극. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 이론을, 딸림표현의 물질을 갖는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 이론으로 간주.
바파-위튼(영어: Vafa–Witten)	${\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {SO} (6)\supset \operatorname {SO} (3)^{2}}$, 두 SO(3) 가운데 하나를 로런츠 SO(3)와 대각선으로 섞음	순간자	[9]
마커스(영어: Marcus) 또는 카푸스틴-위튼(영어: Kapustin–Witten)	${\displaystyle \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}\supset \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {U} (1)}$, 두 SU(2)의 대각 부분군을 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음	기하 랭글랜즈 프로그램과 관계 있음	[10][11]

바파-위튼 뒤틂 · 마커스 뒤틂은 간혹 각각 A-뒤틂 및 B-뒤틂으로 불리기도 한다.^[12]:§4.2

장들의 분해는 다음과 같다.

장	설명	뒤틀기 전 표현 SU(2)l×SU(2)r×SU(4)R	도널드슨-위튼 뒤틂 SU(2)l×SU(2)r′×SU(2)F×U(1)U	바파-위튼 뒤틂 SU(2)l×SU(2)r′×SU(2)U	마커스 뒤틂 SU(2)l′×SU(2)r′×U(1)U
${\displaystyle Q_{\alpha }^{I}\;(I=1,\dots ,4)}$	왼손 초전하	(½, 0, 4)	(½, ½, 0)^+1 ⊕ (½, 0, ½)^−1	(½, ½, ½)	(½, ½)^+1 ⊕ (1, 0)^−1 ⊕ (0, 0)^−1
${\displaystyle {\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{\bar {I}}\;({\bar {I}}={\bar {1}},\dots ,{\bar {4}})}$	오른손 초전하	(0, ½, 4)	(0, 1, 0)^−1 ⊕ (0, 0, 0)^−1 ⊕ (0, ½, ½)^+1	(0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½)	(½, ½)^+1 ⊕ (0, 1)^−1 ⊕ (0, 0)^−1
${\displaystyle A_{\mu }}$	게이지 보손	(½, ½, 1)	(½, ½, 0)^0	(½, ½, 0)	(½, ½, 0)^0
${\displaystyle \psi _{\alpha }^{I}\quad (I=1,\dots ,4)}$	왼손 게이지노	(½, 0, 4)	(½, ½, 0)^+1 ⊕ (½, 0, ½)^−1	(½, ½, ½)	(½, ½)^+1 ⊕ (1, 0)^−1 ⊕ (0, 0)^−1
${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\dot {\alpha }}^{\bar {I}}\quad ({\bar {I}}={\bar {1}},\dots ,{\bar {4}})}$	오른손 게이지노	(0, ½, 4)	(0, 1, 0)^−1 ⊕ (0, 0, 0)^−1 ⊕ (0, ½, ½)^+1	(0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½)	(½, ½)^+1 ⊕ (0, 1)^−1 ⊕ (0, 0)^−1
${\displaystyle \phi ^{i}\quad (i=1,\dots ,6)}$	스게이지노	(0, 0, 6)	(0, ½, ½)^0 ⊕ (0, 0, 0)^±2 (복소 스칼라장)	(0, 0, 1) ⊕ (0, 1, 0)	(½, ½)^0 (실수 벡터장) ⊕ (0, 0)^±2 (복소 스칼라장)

도널드슨-위튼 뒤틂(영어: Donaldson–Witten twist)에서는 ${\displaystyle \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}}$ 대칭을

${\displaystyle \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}\to \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)_{\text{F}}\times \operatorname {U} (1)_{\text{U}}}$

으로 깬 뒤, 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{r}}}$와 섞어 얻는다. 이에 따라, 남은 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{F}}}$는 맛깔 대칭, ${\displaystyle \operatorname {U} (1)_{\text{U}}}$는 유령수 대칭이 된다. 이 깨짐 아래, ${\displaystyle \operatorname {SU} (4)}$의 표현들은 다음과 같이 깨진다.^[10]:§1

${\displaystyle \mathbf {4} \to (1/2,0)^{+1}\oplus (1/2,0)^{-1}}$

${\displaystyle \mathbf {6} \to (1/2,1/2)^{0}\oplus (0,0)^{\pm 2}}$

바파-위튼 뒤틂(영어: Vafa–Witten twist) 또는 A-뒤틂(영어: A-twist)에서는 ${\displaystyle \operatorname {SU} (4)_{\text{R}}}$ 대칭군을 우선

${\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6)\to \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$

로 깬 뒤, 두 SU(2) 성분 가운데 하나를 오른쪽 로런츠 군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{r}}}$와 섞는다. 따라서, 나머지 한 SU(2) 부분군은 SU(2) 유령수 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{U}}}$로 남게 된다. R대칭의 깨짐에 따라서, SU(4)의 표현들은 다음과 같은 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)^{2}}$ 표현으로 깨진다.

${\displaystyle \mathbf {4} \to (1/2,1/2)}$

${\displaystyle \mathbf {6} \to (1,0)\oplus (0,1)}$

유령수 대칭이 SU(2) 단순군이므로, 바파-위튼 뒤틂에서는 (다른 뒤틂과 달리) 유령수가 변칙적이지 않다.

마커스 뒤틂(영어: Marcus twist) 또는 B-뒤틂(영어: B-twist)은 도널드슨-위튼 뒤틂에서 남아 있던 SU(2)_F 맛깔 대칭을 왼쪽 로런츠 대칭 SU(2)_l과 한 번 더 뒤틀어 얻는다.^[10] 이에 따라 U(1)_U 유령수 대칭만이 남게 된다.

3차원 𝒩=4 위상 뒤틂

3차원에서는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭은 2개의 초전하를 갖고, R대칭은 ${\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathcal {N}})}$이 된다. 이 경우, 위상 뒤틂을 위해서는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}\geq 4}$이어야 한다.

3차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$에서, R대칭은 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)_{N}\times \operatorname {SU} (2)_{R}}$이다. 3차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$에서, 벡터 초장의 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{E}\times \operatorname {SU} (2)_{N}\times \operatorname {SU} (2)_{R}}$ 표현은 다음과 같다. (SU(2) 표현은 스핀으로 표현하였다.)

초장	장	대칭군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{E}\times \operatorname {SU} (2)_{N}\times \operatorname {SU} (2)_{R}}$ 표현
	초전하 ${\displaystyle Q_{\alpha }^{a}\quad (a=1,2,3,4)}$	(½, ½, ½)
벡터 초장	게이지 보손 ${\displaystyle A_{\mu }}$	(1, 0, 0)
	게이지노 ${\displaystyle \chi _{\alpha }^{i}\quad (i=1,2)}$	(½, ½, ½)
	스게이지노 ${\displaystyle \eta _{\alpha }^{I}\quad (I=1,2,3)}$	(0, 1, 0)
하이퍼 초장	페르미온 ${\displaystyle \psi _{\alpha }^{i}\quad (i=1,2)}$	(½, ½, ½)
	스칼라 ${\displaystyle \phi }$	(0, 0, 0) + (0, 0, 1)

따라서, 뒤튼 후의 로런츠 군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{E'}}$을 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{E}\times \operatorname {SU} (2)_{R}}$의 대각선 부분군으로 잡거나, ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{E}\times \operatorname {SU} (2)_{N}}$의 대각선 부분군으로 잡을 수 있다. 2차원 위상 끈 이론과 유사하게, 전자는 A-뒤틂(영어: A-twist), 후자는 B-뒤틂(영어: B-twist)이라고 한다.

초켈러 다양체 위의 3차원 시그마 모형의 경우, A-뒤틂은 카푸스틴-비아스 모형(영어: Kapustin–Vyas model),^[13], B-뒤틂은 로잔스키-위튼 모형(영어: Rozansky–Witten model)^[14]이라고 한다. 3차원 초대칭 게이지 이론의 B-뒤틂은 블라우-톰프슨 모형(영어: Blau–Thompson model)이라고 한다.^[12]:§4.3

3차원 𝒩=8 위상 뒤틂

3차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ 이론의 위상 뒤틂은 총 4가지가 있다.^[12]:§5.1

• 하나는 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 이론의 바파-위튼 뒤틂 또는 마커스 뒤틂의 축소화이다. (이들은 축소화하면 서로 같아진다.) 뒤튼 뒤, 4개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
• 하나는 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 이론의 도널드슨-위튼 뒤틂의 축소화이다. 뒤튼 뒤, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
• 하나는 4개의 스칼라 초대칭을 갖는 뒤틂을 한 번 더 추가로 뒤틀어서 얻으며, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
• 하나는 1개의 스칼라 초대칭을 갖는다.

각주

1. Kaul, R. K.; T. R. Govindarajan, P. Ramadevi (2005). “Schwarz type topological quantum field theories” (영어). arXiv:hep-th/0504100. Bibcode:2005hep.th....4100K.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. Schwarz, Albert (1978년 1월). “The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants”. 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) 2 (3): 247–252. Bibcode:1978LMaPh...2..247S. doi:10.1007/BF00406412. Zbl 0383.70017. 
3. Witten, Edward (1991년 7월 10일). “Introduction to cohomological field theories”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 6 (16): 2775–2792. Bibcode:1991IJMPA...6.2775W. doi:10.1142/S0217751X91001350. ISSN 0217-751X. 
4. Witten, Edward (1988). “Topological quantum field theory”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 117 (3): 353–386. Bibcode:1988CMaPh.117..353W. doi:10.1007/BF01223371. MR 953828. 
5. Dijkgraaf, Robbert (1997년 3월). “Les Houches lectures on fields, strings and duality” (영어). arXiv:hep-th/9703136. Bibcode:1997hep.th....3136D. 
6. Atiyah, Michael (1988년 1월). “Topological quantum field theories”. 《Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 (영어) 68 (1): 175–186. doi:10.1007/BF02698547. ISSN 0073-8301. MR 1001453. Zbl 0692.53053. 
7. 일부 경우, 실수 및 유한체에 대한 벡터 공간도 사용 가능하다.
8. Gadde, A.; Gukov, S.; Putrov, P. “Fivebranes and 4-manifolds”. arXiv:1306.4320. 
9. Vafa, Cumrun; Witten, Edward. “A Strong Coupling Test of S-Duality” (영어). arXiv:hep-th/9408074. 
10. Marcus, Neil. “The other topological twisting of ${\displaystyle N=4}$ Yang–Mills” (영어). arXiv:hep-th/9506002.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 35) (도움말)
11. Kapustin, Anton; Witten, Edward. “Electric–magnetic duality and the geometric Langlands program”. arXiv:hep-th/0604151. 
12. Blau, Matthias; Thompson. “Aspects of ${\displaystyle N_{T}\geq 2}$ topological gauge theories and D-branes” (영어). arXiv:hep-th/9612143.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 12) (도움말)
13. Kapustin, Anton; Vyas, Ketan. “A-models in three and four dimensions” (영어). arXiv:1002.4241. 
14. Rozansky, Lev; Witten, Edward. “Hyper-Kähler Geometry and Invariants of Three-Manifolds” (영어). arXiv:hep-th/9612216. 

• Schwarz, Albert (2000). “Topological quantum field theories” (영어). arXiv:hep-th/0011260. Bibcode:2000hep.th...11260S. 
• Ivancevic, Vladimir G.; Tijana T. Ivancevic (2008년 12월 11일). “Undergraduate lecture notes in topological quantum field theory” (영어). arXiv:0810.0344. Bibcode:2008arXiv0810.0344I.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Birmingham, Danny; Blau, Matthias; Rakowski, Mark; Thompson, George (1991년 12월). “Topological field theory”. 《Physics Reports》 (영어) 209 (4–5): 129-340. Bibcode:1991PhR...209..129B. doi:10.1016/0370-1573(91)90117-5. ISSN 0370-1573. 
• Labastida, José M. F.; Carlos Lozano. “Lectures in topological quantum field theory” (영어). arXiv:hep-th/9709192. Bibcode:1997hep.th....9192L.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
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• Bartlett, Bruce H. (2005). 《Categorical aspects of topological quantum field theories》 (영어). 석사 학위 논문. 위트레흐트 대학교. arXiv:math/0512103. Bibcode:2005math.....12103B. 
• Picken, R. F.; P. A. Semiao (1999). “TQFT — a new direction in algebraic topology” (영어). arXiv:math/9912085. Bibcode:1999math.....12085P.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

외부 링크

• “Topological quantum field theory”. 《nLab》 (영어). 
• “2d TQFT”. 《nLab》 (영어). 
• “3d TQFT”. 《nLab》 (영어). 
• “4d TQFT”. 《nLab》 (영어). 
• “TCFT”. 《nLab》 (영어). 
• “Topologically twisted D=4 super Yang-Mills theory”. 《nLab》 (영어). 
• “Kapustin-Witten TQFT”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 천-사이먼스 이론
• 위상 끈 이론
• BF 모형