기하학에서 유클리드 군(Euclid群, 영어: Euclidean group)은 유클리드 공간의 등거리 변환들로 구성된 리 군이다. 즉, 거리와 각도가 정의되지만, 원점이 정의되지 않는 유클리드 공간의 대칭군이다. 아벨 리 군(병진 변환)과 직교군(회전)의 반직접곱이다.
유클리드 군(영어: Euclidean group) 은 다음과 같은 리 군 반직접곱이다.
여기서 직교군 의 위의 작용은 다음과 같은, 행렬의 차원 벡터 위의 작용이다.
이는 유클리드 공간의 등거리 변환 들의 위상군과 같다.
마찬가지로, 특수 유클리드 군(特殊Euclid群영어: special Euclidean group) 은 직교군 대신 특수 직교군을 사용한 다음과 같은 리 군 반직접곱이다.
과 은 각각 및 으로 표기하기도 한다.
유클리드 대수[편집]
유클리드 대칭군 (또는 )의 리 대수는 유클리드 대수(Euclid代數, 영어: Euclidean algebra) 이라고 한다. 그 생성원은 다음과 같다. (물리학 관례에 따라 를 추가하여 적었다.)
- (병진 이동)
- (회전)
이들의 리 괄호는 다음과 같다.
위상수학적 성질[편집]
과 은 둘 다 차원 리 군이다. 은 연결 공간이며, 은 두 개의 연결 성분을 갖는다. 은 의 두 연결 성분 가운데 항등원을 포함하는 성분이다.
반직접곱 표현에 따라, 은 과 미분 동형이다. 특히, 유클리드 군의 기본군은 다음과 같다.
일 경우, 그 2겹 범피복군 을 정의할 수 있다. 일 경우, 그 범피복군은 무한겹이다.
리 이론적 성질[편집]
유클리드 대수의 2차 리 대수 코호몰로지는 자명하다. 즉, 유클리드 군의 범피복군은 중심 확대를 갖지 않는다.
2차원 유클리드 군 는 비안키 분류의 VII0에 해당한다.
단위 등거리성[편집]
베크먼-퀄스 정리(영어: Beckman–Quarles theorem)에 따르면, 일 때 함수 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.[1][2][3]
- 는 전단사 등거리 변환이다.
- 는 (전사가 아닐 수 있는) 등거리 변환이다.
- (단위 길이 등거리성) 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이다.
일 경우, 처음 두 조건은 동치이지만 세 번째 조건은 처음 둘보다 더 약하다. 예를 들어,
는 세 번째 조건을 만족시키지만, 등거리 변환이 아니다. 또한, 베크번-퀄스 정리는 무한 차원 힐베르트 공간에서도 성립하지 않는다.
원소의 분류[편집]
유클리드 군 의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 적을 수 있다.
만약 라면 이는 고정점 집합 를 갖고, 아니라면 고정점을 갖지 않는다. 또한, 인데, 만약 이라면 이는 방향을 보존하고, 이라면 이는 방향을 보존하지 않는다. 인 경우 고정점 집합을 회전축(回轉軸, 영어: axis of rotation)이라고 하며, 인 경우 고정점 집합을 반사 초평면(反射超平面, 영어: hyperplane of reflection)이라고 한다.
유클리드 군의 원소들은 방향의 보존 여부와 고정점의 유무에 따라 다음과 같이 4종류로 분류된다.
각각의 설명은 다음과 같다.
- 회전(回轉, 영어: rotation): 이며 인 경우. 이 경우, 고정점 집합 를 회전축(영어: rotation axis)이라고 한다. 만약 이 짝수라면 짝수 차원, 홀수라면 홀수 차원이다. 회전축이 0차원이라면, 이를 회전 중심(영어: center of rotation)이라고 한다. 고정점 집합은 회전축이다.
- 고정점 집합이 전체인 경우는 항등 함수이다. 이는 회전의 자명한 경우이다.
- 회전 평행 이동(回轉平行移動, 영어: rototranslation): 이며 인 경우. 이 경우, 를 회전 초평면(영어: rotation hyperplane)이라고 하며, 이는 이 짝수라면 짝수 차원, 홀수라면 홀수 차원이다. 회전 초평면에 수직인 성분 를 평행 이동 벡터(영어: translation vector)라고 한다. 이 경우 고정점은 없다.
- 특히, 인 경우(즉, 인 경우)를 평행 이동(平行移動, 영어: translation)이라고 한다. 2차원 이하에서 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이다.
- 반사(反射, 영어: reflection): 이며 인 경우. 이 경우, 고정점 집합 를 반사의 반사 초평면(영어: reflection hyperplane)이라고 한다. 반사 초평면은 이 짝수일 경우 홀수 차원이며, 이 홀수일 경우 짝수 차원이다.
- 미끄러짐 반사(-反射, 영어: glide reflection): , , . 이는 반사와 평행 이동의 합성이다. 고정점은 없다. 마찬가지로, 아핀 부분 공간 을 미끄러짐 반사의 반사 초평면이라고 하며, 이는 이 짝수일 경우 홀수 차원이며, 이 홀수일 경우 짝수 차원이다. 이는 2차원 이상에서만 존재한다.
, 인 경우를 반전 변환(영어: parity reversal)이라고 한다. 이는 이 짝수일 때 회전이며, 홀수일 때 반사이다.
1차원[편집]
1차원에서 회전은 항등 함수밖에 없으며, 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이며, 미끄러짐 반사는 존재하지 않는다. 회전축은 1차원이며, 반사 초평면은 0차원이다. 1차원 유클리드 공간을 실직선으로 나타내면, 등거리 변환은 다음과 같은 꼴이다.
- , 인 경우는 항등 함수이다. 이는 자명한 회전이다.
- , 인 경우는 만큼의 평행 이동이다.
- 인 경우는 반사이며, 반사 초평면은 이다.
2차원[편집]
2차원에서 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이다. 회전축은 0차원 또는 2차원이며, 반사 초평면은 모두 1차원이다. 2차원인 경우는 항등 함수이며, 0차원인 경우 회전축을 회전 중심(영어: center or rotation)이라고 한다.
2차원 유클리드 공간은 복소평면 으로 간편하게 나타낼 수 있다. 이 경우, 2차원 유클리드 공간의 등거리 변환은 다음과 같이 나타내어진다. 아래 표에서 는 절댓값이 1인 복소수이다.
평행 이동
|
, |
평행 이동 벡터는
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회전
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|
회전 각도는 일 때 시계 반대 방향으로 라디안
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반사
|
|
반사축은 이다.
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미끄러짐 반사
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, |
반사축 에서 반사한 뒤, 만큼 평행 이동
|
3차원[편집]
3차원에서, 회전의 회전축은 1차원 또는 3차원이며, 반사의 반사 초평면은 0차원 또는 2차원이다. 회전축이 3차원인 경우는 항등 함수인 경우이다. 반사 초평면이 0차원인 경우는 회전 반사(回轉反射, 영어: rotoreflection)인 경우이며, 2차원인 경우는 반사 평면(영어: plane of reflection)이라고 한다.
유클리드 군은 반직접곱
- 이며, 은 아벨 리 군이다. 따라서, 모든 복소수 기약 표현은 의 복소수 기약 표현의 유도 표현이다.
구체적으로, 유클리드 대수 의 보편 포락 대수의 중심 원소는 다음이 있다. 이들은 슈어 보조정리에 따라, 기약 표현에서 항등 함수의 스칼라배로 표현된다.
- . 유니터리 표현의 경우 이는 양수이거나 0이다. 이를 로 쓰자. 은 유클리드 계량 부호수에서의 질량에 해당한다.
- (파울리-루반스키 벡터의 제곱 노름)
의 위의 작용에서, 궤도는 카시미르 불변량 에 의하여 분류된다. 이 경우, 안정자군은 (무질량)인 경우와 (유질량)인 경우가 다르다.
유질량[편집]
일 경우, 평행 이동군 은 공간에 추이적으로 작용한다. 이러한 경우 안정자군은 이다. 따라서, 유니터리 표현은 의 유니터리 기약 표현으로부터 유도된다.
무질량[편집]
일 경우, 안정자군은 전체이다. 따라서, 유니터리 표현은 의 유니터리 기약 표현으로부터 유도된다.
- ↑ Beckman, F. S.; Quarles, D. A., Jr. (1953), “On isometries of Euclidean spaces”, 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 4: 810–815, doi:10.2307/2032415, MR 0058193
- ↑ Townsend, Carl G. (1970), “Congruence-preserving mappings”, 《Mathematics Magazine》 (영어) 43: 37–38, doi:10.2307/2688111, MR 0256252
- ↑ Bishop, Richard L. (1973), “Characterizing motions by unit distance invariance”, 《Mathematics Magazine》 (영어) 46: 148–151, doi:10.2307/2687969, MR 0319026
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]