양자역학 에서 일차원 격자 속의 입자 (Particle in a one-dimensional lattice) 문제는 주기성을 가진 결정 격자 (crystal lattice)에서 입자의 파동함수를 모델링하면서 등장한다. 이 주기적 퍼텐셜은 결정 내에 주기적으로 존재하는 이온에 의해 생겨나는 전자기장에 의한 것이다. 결정 내의 전자들의 파동함수는 이 주기를 가진 퍼텐셜에 의해 결정된다. 이는 자유전자 모델을 확장하여 풀어낼 수 있다.
1931년 랄프 크로니(Ralph Kronig)와 윌리엄 페니(William Penney[ 1]
이 모델의 결과로 주기 격자(periodic lattice)에서 전자의 양자역학적 운동의 중요한 요소들을 알 수 있다. 대표적으로, 원자가 결정화(crystallization)가 잘 되어 주기적으로 배열되어 있으면 퍼텐셜(potential)이 주기적인 모양이 된다. 슈뢰딩거 파동방정식과 경계조건을 적용하여 얻은 해로부터 에너지 허용 영역과 금지영역이 생김을 알 수 있다.
1차원 격자 속 입자 모델을 단순화한 전위 함수는 아래와 같다.
일차원 격자 속의 입자는 1차원 주기적 전위 함수, 크로니-페니 모델로 나타낼 수 있다. 위치에너지(전위)는
V
(
x
)
=
V
0
{\displaystyle V(x)=V_{0}}
b
{\displaystyle b}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
전위장벽의 전위는 입자의 에너지보다 크다.
V
0
>
E
{\displaystyle V_{0}>E}
1차원 슈뢰딩거 파동방정식의 해는 다음과 같다.
Ψ
(
x
,
t
)
=
ψ
(
x
)
×
ϕ
(
t
)
=
u
(
x
)
exp
(
j
(
k
x
−
w
t
)
)
{\displaystyle \quad \Psi (x,t)=\psi (x)\times \phi (t)=u(x)\exp(j(kx-wt))}
j
2
=
−
1
,
w
=
E
ℏ
{\displaystyle j^{2}=-1,w={E \over \hbar }}
1차원 시간독립 파동방정식
d
2
ψ
(
x
)
d
x
2
+
2
m
ℏ
2
⋅
(
E
−
V
(
x
)
)
ψ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \quad {d^{2}\psi (x) \over dx^{2}}+{2m \over \hbar ^{2}}\cdot (E-V(x))\psi (x)=0}
V
0
>
E
{\displaystyle V_{0}>E}
−
ℏ
2
2
m
⋅
d
2
ψ
d
x
2
+
(
V
(
x
)
−
E
)
ψ
=
0
{\displaystyle \quad {-\hbar ^{2} \over 2m}\cdot {d^{2}\psi \over dx^{2}}+(V(x)-E)\psi =0}
전위 장벽 사이 공간(0<x<a)을 '영역 1', 전위 장벽 내부(-b<x<0)를 '영역 2'로 한다면 퍼텐셜은 아래와 같이 주어진다.
V
(
x
)
=
{
0
(
0
<
x
<
a
)
V
0
(
−
b
<
x
<
0
)
{\displaystyle V(x)={\begin{cases}0\qquad \ \ \ \ \ (0<x<a)\\V_{0}\qquad (-b<x<0)\end{cases}}}
위의 퍼텐셜 조건을 1차원 시간 독립 파동방정식에 경계조건을 대입하면 다음과 같다.
{
−
ℏ
2
m
⋅
d
2
ψ
1
d
x
2
−
E
ψ
1
=
0
(
0
<
x
<
a
)
[
1
]
−
ℏ
2
m
⋅
d
2
ψ
2
d
x
2
+
(
V
0
−
E
)
ψ
2
=
0
(
−
b
<
x
<
0
)
[
2
]
{\displaystyle {\begin{cases}-{\hbar \over 2m}\cdot {d^{2}\psi _{1} \over dx^{2}}-E\psi _{1}=0\qquad (0<x<a)\ [1]\\-{\hbar \over 2m}\cdot {d^{2}\psi _{2} \over dx^{2}}+(V_{0}-E)\psi _{2}=0\ (-b<x<0)\ [2]\end{cases}}}
크로니-페니 모델 전위함수는 주기적이다. 이 함수의 해
ψ
(
x
)
=
e
j
k
x
⋅
u
(
x
)
[
3
]
{\displaystyle \psi (x)=e^{jkx}\cdot u(x)\ [3]}
e
j
k
x
{\displaystyle e^{jkx}}
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
블로흐 파 에 따라
u
(
x
)
=
u
(
x
+
d
)
{\displaystyle u(x)=u(x+d)}
d
{\displaystyle d}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
먼저, 영역 1에 대하여 식
[
3
]
{\displaystyle [3]}
[
1
]
{\displaystyle [1]}
d
2
d
x
2
(
e
j
k
x
u
1
(
x
)
)
+
2
m
E
ℏ
2
e
j
k
x
u
1
(
x
)
=
0
{\displaystyle \quad {d^{2} \over dx^{2}}(e^{jkx}u_{1}(x))+{2mE \over \hbar ^{2}}e^{jkx}u_{1}(x)=0}
d
d
x
{
j
k
e
j
k
x
u
1
(
x
)
+
e
j
k
x
d
u
1
(
x
)
d
x
}
+
2
m
E
ℏ
2
e
j
k
x
u
1
(
x
)
=
0
{\displaystyle \quad {d \over dx}\{jke^{jkx}u_{1}(x)+e^{jkx}{du_{1}(x) \over dx}\}+{2mE \over \hbar ^{2}}e^{jkx}u_{1}(x)=0}
j
2
k
2
e
j
k
x
u
1
(
x
)
+
j
k
e
j
k
x
d
u
1
(
x
)
d
x
+
j
k
e
j
k
x
d
u
1
(
x
)
d
x
+
e
j
k
x
d
2
u
1
(
x
)
d
x
2
+
2
m
E
ℏ
2
e
j
k
x
u
1
(
x
)
=
0
{\displaystyle \quad j^{2}k^{2}e^{jkx}u_{1}(x)+jke^{jkx}{du_{1}(x) \over dx}+jke^{jkx}{du_{1}(x) \over dx}+e^{jkx}{d^{2}u_{1}(x) \over dx^{2}}+{2mE \over \hbar ^{2}}e^{jkx}u_{1}(x)=0}
j
2
=
−
1
{\displaystyle j^{2}=-1}
e
j
k
x
{\displaystyle e^{jkx}}
d
2
u
1
(
x
)
d
x
2
+
2
j
k
d
u
1
(
x
)
d
x
+
(
2
m
E
ℏ
2
−
k
2
)
u
1
(
x
)
=
0
[
4
]
{\displaystyle \quad {d^{2}u_{1}(x) \over dx^{2}}+2jk{du_{1}(x) \over dx}+({2mE \over \hbar ^{2}}-k^{2})u_{1}(x)=0\qquad [4]}
또, 영역 2에 대하여 식
[
3
]
{\displaystyle [3]}
[
2
]
{\displaystyle [2]}
d
2
u
2
(
x
)
d
x
2
+
2
j
k
d
u
2
(
x
)
d
x
+
(
2
m
(
V
0
−
E
)
ℏ
2
−
k
2
)
u
2
(
x
)
=
0
[
5
]
{\displaystyle \quad {d^{2}u_{2}(x) \over dx^{2}}+2jk{du_{2}(x) \over dx}+({2m(V_{0}-E) \over \hbar ^{2}}-k^{2})u_{2}(x)=0\qquad [5]}
식
[
4
]
{\displaystyle [4]}
[
5
]
{\displaystyle [5]}
u
1
(
x
)
=
A
e
j
(
α
−
k
)
x
+
B
e
−
j
(
α
+
k
)
x
(
0
<
x
<
a
)
{\displaystyle \quad u_{1}(x)=Ae^{j(\alpha -k)x}+Be^{-j(\alpha +k)x}\qquad (0<x<a)}
u
2
(
x
)
=
C
e
j
(
β
−
k
)
x
+
D
e
−
j
(
β
+
k
)
x
(
−
b
<
x
<
0
)
{\displaystyle \quad u_{2}(x)=Ce^{j(\beta -k)x}+De^{-j(\beta +k)x}\qquad (-b<x<0)}
여기서
α
2
=
2
m
E
ℏ
2
{\displaystyle \alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}}
β
2
=
2
m
(
V
0
−
E
)
ℏ
2
{\displaystyle \beta ^{2}={2m(V_{0}-E) \over \hbar ^{2}}}
계수
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
u
1
(
0
)
=
u
2
(
0
)
⟹
A
+
B
−
C
−
D
=
0
{\displaystyle u_{1}(0)=u_{2}(0)\Longrightarrow A+B-C-D=0}
d
u
1
(
0
)
d
x
=
d
u
2
(
0
)
d
x
⟹
(
α
−
k
)
A
−
(
α
+
k
)
B
−
(
β
−
k
)
C
+
(
β
+
k
)
D
=
0
{\displaystyle {du_{1}(0) \over dx}={du_{2}(0) \over dx}\Longrightarrow (\alpha -k)A-(\alpha +k)B-(\beta -k)C+(\beta +k)D=0}
u
1
(
a
)
=
u
2
(
a
)
=
u
2
(
−
b
)
{\displaystyle u_{1}(a)=u_{2}(a)=u_{2}(-b)}
d
u
1
(
a
)
d
x
=
d
u
2
(
a
)
d
x
⟹
(
α
−
k
)
A
e
j
(
α
−
k
)
a
+
(
α
+
k
)
B
e
−
j
(
α
+
k
)
a
−
(
β
−
k
)
C
e
j
(
β
−
k
)
b
+
(
β
+
k
)
D
e
(
β
+
k
)
b
=
0
{\displaystyle {du_{1}(a) \over dx}={du_{2}(a) \over dx}\Longrightarrow (\alpha -k)Ae^{j(\alpha -k)a}+(\alpha +k)Be^{-j(\alpha +k)a}-(\beta -k)Ce^{j(\beta -k)b}+(\beta +k)De^{(\beta +k)b}=0}
행렬식으로 표현하면 다음과 같다.
(
1
1
−
1
−
1
(
α
−
k
)
−
(
α
+
k
)
−
(
β
−
k
)
(
β
+
k
)
e
j
(
α
−
k
)
a
e
−
j
(
α
+
k
)
a
−
e
−
j
(
β
−
k
)
b
−
e
j
(
β
+
k
)
b
(
α
−
k
)
e
i
(
α
−
k
)
a
−
(
α
+
k
)
e
−
i
(
α
+
k
)
a
−
(
β
−
k
)
e
−
i
(
β
−
k
)
b
(
β
+
k
)
e
i
(
β
+
k
)
b
)
(
A
B
C
D
)
=
(
0
0
0
0
)
{\displaystyle \quad {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\(\alpha -k)&-(\alpha +k)&-(\beta -k)&(\beta +k)\\e^{j(\alpha -k)a}&e^{-j(\alpha +k)a}&-e^{-j(\beta -k)b}&-e^{j(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)a}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)a}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}
위의 행렬의 행렬식이 0이 될 때, 해를 얻을 수 있다.
행렬식이 0이 되는 조건으로부터 크로니-페니 모델의 최종식은 아래와 같다.
f
(
α
a
)
=
P
′
s
i
n
α
a
α
a
+
c
o
s
α
a
=
c
o
s
k
a
{\displaystyle \quad f(\alpha a)=P'{sin{\alpha a} \over \alpha a}+cos{\alpha a}=coska}
P
′
=
m
V
0
b
a
ℏ
2
{\displaystyle \quad P'={mV_{0}ba \over \hbar ^{2}}}
위의 식은 단결정 격자에 갇혀있는 입자의 에너지와 k의 관계에 관한 식이다. 위 식에서 P'가 증가하면 입자는 전위우물 즉, 원자에 더욱 강하게 결합됨을 의미한다. P는 아래와 같이 나타내며 퍼텐셜 장벽의 크기에 대응한다.
P
=
V
0
b
{\displaystyle \quad P=V_{0}b}
입자들이 결정화가 잘 되어서 원자가 주기적으로 배열되어있다면 퍼텐셜은 주기적인 모양이 되고 에너지의 허용영역과 금지영역이 생긴다. 이들은 각각 에너지밴드와 밴드갭으로 불린다.
↑ R. Kronig and W. G. Penney, Proc. Roy. Soc. A130 (1931) 499.
![{\displaystyle {\begin{cases}-{\hbar \over 2m}\cdot {d^{2}\psi _{1} \over dx^{2}}-E\psi _{1}=0\qquad (0<x<a)\ [1]\\-{\hbar \over 2m}\cdot {d^{2}\psi _{2} \over dx^{2}}+(V_{0}-E)\psi _{2}=0\ (-b<x<0)\ [2]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf345699df88eba5558f55496c7943021082f16)
![{\displaystyle \psi (x)=e^{jkx}\cdot u(x)\ [3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c225bb841d4926328a44a59c660575ce0e9e3874)
![{\displaystyle [3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f671027d56f9c24d65c03a4a26eb0d3b933f4f15)
![{\displaystyle [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83021ecdd7307a04dbb7873affcaac031e7e935a)
![{\displaystyle \quad {d^{2}u_{1}(x) \over dx^{2}}+2jk{du_{1}(x) \over dx}+({2mE \over \hbar ^{2}}-k^{2})u_{1}(x)=0\qquad [4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3dceca402f09f97f5674e66b882bd9ab151e5cc)
![{\displaystyle [2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa32363c093f4cfd50ecba68068bcfd396ea8bff)
![{\displaystyle \quad {d^{2}u_{2}(x) \over dx^{2}}+2jk{du_{2}(x) \over dx}+({2m(V_{0}-E) \over \hbar ^{2}}-k^{2})u_{2}(x)=0\qquad [5]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4331c7612977e95e737e44cd8d20c053d2a1a0c2)
![{\displaystyle [4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d865272ff436d713d5069ae3066bbe07a000a99)
![{\displaystyle [5]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958ef87021d704de46ad116821bc677e07d9a5fe)
