자이페르트 올공간

위상수학에서 자이페르트 올공간(영어: Seifert fiber space)은 "좋은" 원 올다발으로의 표현을 갖춘 3차원 다양체이다.

정의

${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$가 유리수라고 하자. 그렇다면 원기둥 ${\displaystyle B_{2}\times I=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq 1\}\times [0,1]}$의 양끝을 다음과 같은 사상으로 이어붙일 수 있다.

${\displaystyle (z,0)\sim (\exp(2\pi ir)z,1)}$ (${\displaystyle z\leq 1}$)

이렇게 취한 몫공간은 3차원 원환체 ${\displaystyle B_{2}\times S^{1}}$와 위상동형이며, 이를 표준올 원환체(영어: standard fibered torus)라고 한다. 만약 ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$라면 이를 일반적 표준올 원환체(영어: ordinary standard fibered torus)라고 하며, 아니라면 예외적 표준올 원환체(영어: exceptional standard fibered torus)라고 한다.

자이페르트 올공간은 다음과 같은 성질을 만족시키는 올다발 ${\displaystyle \pi \colon M\twoheadrightarrow B}$이다.

• ${\displaystyle M}$은 3차원 다양체이며, ${\displaystyle B}$는 2차원 오비폴드다. ${\displaystyle \pi }$의 올은 원 ${\displaystyle S^{1}}$이다.
• 모든 올 ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)}$ (${\displaystyle b\in B}$)은 표준올 원환체와 올다발로서 동형인 근방을 가진다.

이 경우, ${\displaystyle B}$의 오비폴드 특이점들은 예외적 올들에 대응하고, 나머지 점들은 일반적 올에 대응한다. 콤팩트 자이페르트 올공간은 유한 개의 예외적 올들을 가진다.

자이페르트 다양체(영어: Seifert manifold)는 올다발 구조를 잊은 자이페르트 올공간이다. 렌즈 공간과 같은 일부 다양체들은 서로 다른 여러 자이페르트 올구조를 가질 수 있다.

분류

콤팩트 자이페르트 올공간은 모두 분류되었고, 그 분류는 다음과 같다. 자이페르트 올공간은 다음과 같은 기호를 가진다.

${\displaystyle \{(\varepsilon ,g);r_{1},r_{2},\dots \}}$

여기서

• ${\displaystyle \varepsilon \in \{{\mathsf {o}}_{1},{\mathsf {o}}_{2},{\mathsf {n}}_{1},{\mathsf {n}}_{2},{\mathsf {n}}_{3},{\mathsf {n}}_{4}\}}$은 다음과 같은 뜻을 가진다.

기호	다른 기호	B	M	${\displaystyle \pi _{1}(B)}$의 올들의 방향에 대한 작용	B의 다양체 피복의 종수
o1	Oo	가향	가향
o2	No	가향	비가향
n1	NnⅠ	비가향	비가향	모두 보존
n2	On	비가향	가향	모두 역전
n3	NnⅡ	비가향	비가향	정확히 하나의 생성원만이 보존	≥2
n4	NnⅢ	비가향	비가향	정확히 두 개의 생성원만이 보존	≥3

• ${\displaystyle r_{i}\in \mathbb {Q} }$는 ${\displaystyle r_{i}}$-표준올 원환체의 존재를 나타낸다.

자이페르트 올공간의 기호는 다음과 같이 바꾸어도 같은 자이페르트 올공간에 대응한다.

• 만약 ${\displaystyle \sum _{i}n_{i}=0}$이고 ${\displaystyle n_{i}\in \mathbb {Z} }$라면 모든 ${\displaystyle r_{i}}$에 대하여 ${\displaystyle r_{i}\mapsto r_{i}+n_{i}}$로 바꾸어도 상관없다.
• ${\displaystyle r=0}$인 올은 마음대로 추가하거나 생략할 수 있다.
• ${\displaystyle M}$이 비가향이라면, ${\displaystyle r_{i}}$의 부호는 상관없다.

역사

헤르베르트 자이페르트가 1933년 도입하였다.^[1] 자이페르트 다양체는 최초로 완전히 분류된 3차원 다양체였으며, 이후 3차원 다양체의 분류는 기하화 추측의 증명으로 완성되었다.

참고 문헌

1. Seifert, Herbert (1933). “Topologie dreidimensionalen gefaserter Räume”. 《Acta Mathematica》 (독일어) 60: 147-238. JFM 59.1241.02. 

• Orlik, Peter (1972). 《Seifert manifolds》. Lecture notes in mathematics (영어) 291. Springer. 
• Frank Raymond, Classification of the actions of the circle on 3-manifolds, Trans. Amer.Math. Soc 31, (1968) 51-87.
• William H. Jaco, Lectures on 3-manifold topology ISBN 0-8218-1693-4
• William H. Jaco, Peter B. Shalen Seifert Fibered Spaces in Three Manifolds: Memoirs Series No. 220 (Memoirs of the American Mathematical Society; v. 21, no. 220) ISBN 0-8218-2220-9
• Brin, Matthew G. (1993). “Seifert fibered spaces: notes for a course given in the spring of 1993” (영어). arXiv:0711.1346. 
• Hempel, John. 《3-manifolds》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3695-1. 
• Scott, G. Peter (1983). “The geometries of 3-manifolds” (PDF). 《Bulletin of the London Mathematical Society》 (영어) 15 (5): 401–487. doi:10.1112/blms/15.5.401. ISSN 0024-6093. Zbl 0561.57001. 

외부 링크

• A.V. Chernavskii (2001). “Seifert fibration”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.