접다발

유클리드 평면에 매장된 원의 접다발의 형상화.

3차원 유클리드 공간에 매장된 구의 접공간은 유클리드 공간 속의 평면으로 형상화된다.

미분기하학에서, 매끄러운 다양체의 접다발(接-, 영어: tangent bundle)은 각 점 위의 접공간들의 서로소 합집합들로 구성된 벡터 다발이다.

정의

${\displaystyle M}$이 ${\displaystyle n}$차원 매끄러운 다양체라고 하고, 그 매끄러운 국소 좌표계

${\displaystyle (U_{i},\phi _{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R} ^{n})_{i\in I}}$

가 주어졌다고 하자 (${\displaystyle (U_{i})_{\in I}}$는 ${\displaystyle M}$의 열린 덮개).

그렇다면, ${\displaystyle M}$의 접다발은 다음과 같은 위상 공간이다.

${\displaystyle \mathrm {T} M={\frac {\bigsqcup _{i\in I}U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}{\sim }}}$

여기서, 각 성분들을 이어붙이는 동치 관계 ${\displaystyle \sim }$은 다음과 같다.

${\displaystyle (x,u)\sim (x,v)\iff \forall \mu \in \{1,\ldots ,n\}\colon u^{\mu }=\sum _{\nu =1}^{n}v^{\nu }{\frac {\partial \phi _{i}(x)^{\mu }}{\partial \phi _{j}(x)^{\nu }}}\qquad \forall i,j\in I,\;x\in U_{i}\cap U_{j},\;u,v\in \mathbb {R} ^{n}}$

여기서 ${\displaystyle \phi _{i}(x)^{\mu }}$는 ${\displaystyle \phi _{i}(x)\in \mathbb {R} ^{n}}$의 ${\displaystyle \mu }$번째 성분이다.

그렇다면, 이는 자연스러운 사영 사상

${\displaystyle \pi \colon \mathrm {T} M\twoheadrightarrow M}$

${\displaystyle \pi \colon [(x,v)]\mapsto x}$

을 통해 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

${\displaystyle x\in M}$의 접공간(接空間, 영어: tangent space) ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}M}$은 접다발의 올이다. 만약 ${\displaystyle M}$에서 어떤 유클리드 공간으로의 (매끄러운) 몰입이 주어졌다면, 이는 ${\displaystyle M}$에 "접하는" ${\displaystyle n}$차원 초평면으로 여길 수 있다.

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$의 접다발의 쌍대 벡터 다발 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$을 공변접다발(共變接- 영어: cotangent bundle) 또는 여접다발(餘接-)이라고 한다. 이는 보다 직접적으로

${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M={\frac {\bigsqcup _{i\in I}U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}{\sim '}}}$

${\displaystyle (x,u)\sim '(x,v)\iff \forall \mu \in \{1,\ldots ,n\}\colon u_{\mu }=\sum _{\nu =1}^{n}v_{\nu }{\frac {\partial \phi _{j}(x)^{\nu }}{\partial \phi _{i}(x)^{\mu }}}\qquad \forall i,j\in I,\;x\in U_{i}\cap U_{j},\;u,v\in \mathbb {R} ^{n}}$

와 같이 정의될 수 있다. 마찬가지로, ${\displaystyle x\in M}$의 공변접공간(共變接空間, 영어: cotangent space) ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M}$은 공변접다발의 올이다.

벡터장과 텐서장

${\displaystyle M}$의 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$의 매끄러운 단면을 벡터장이라고 한다. ${\displaystyle M}$의 공변접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$의 매끄러운 단면을 1차 미분 형식이라고 한다. ${\displaystyle M}$의 접다발과 공변접다발들의 텐서곱

${\displaystyle \overbrace {\mathrm {T} M\otimes \cdots \mathrm {T} M} ^{p}\otimes \overbrace {\mathrm {T} ^{*}M\otimes \cdots \otimes \mathrm {T} ^{*}M} ^{q}}$

의 매끄러운 단면을 ${\displaystyle (p,q)}$차 텐서장이라고 한다.

예

만약 어떤 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$의 (공변)접다발이 자명한 벡터 다발이라면, ${\displaystyle M}$을 평행화 가능 다양체(영어: parallelizable manifold)라고 한다. 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ 가운데 평행화 가능 다양체인 것은 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}$ 밖에 없다.

모든 3차원 가향 다양체는 평행화 가능 다양체이다.

리만 다양체

준 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$의 경우, 각 점 ${\displaystyle x\in M}$에서 접다발과 공변접다발 사이의 동형 사상

${\displaystyle (-)^{\flat }\colon \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{x}^{*}M}$

${\displaystyle (-)^{\flat }\colon v\mapsto g(v,-)}$

${\displaystyle (-)^{\sharp }\colon \mathrm {T} _{x}^{*}M\to \mathrm {T} _{x}M}$

${\displaystyle (-)^{\sharp }\colon g(v,-)\mapsto v}$

이 존재하며, 이는 접다발과 공변접다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 동형 사상을 정의한다. 이를 음악 동형(音樂同形, 영어: musical isomorphism)이라고 한다.

여기서 "음악"이라는 어원은 악보의 올림표(♯)와 내림표(♭) 기호를 사용하기 때문이다. 이러한 기호를 사용하는 이유는, 보통 접다발의 단면은 윗첨자(${\displaystyle ^{\mu }}$), 공변접다발의 단면은 아랫첨자(${\displaystyle _{\mu }}$)로 표기하므로, ${\displaystyle (-)^{\flat }}$은 윗첨자를 아랫첨자로 "내리고", ${\displaystyle (-)^{\sharp }}$는 아랫첨자를 윗첨자로 "올리기" 때문이다.

참고 문헌

• Chern, Shiing-Shen; Chen, Wei-Huan; Lam, Kai-Shue (1999년 11월). 《Lectures on differential geometry》. Series on University Mathematics (영어) 1. World Scientific. doi:10.1142/3812. ISBN 978-981-02-3494-2. 

같이 보기

• 공변접다발
• 미분 사상
• 틀다발

외부 링크

• “Tangent bundle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Tangent bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Tangent bundle section”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cotangent bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Tangent bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Cotangent bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Generalized tangent bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Synthetic tangent bundle”. 《nLab》 (영어).