중심 퍼텐셜 속 입자

양자역학에서 중심 퍼텐셜 속 입자(particle in a central potential)는 변수분리법으로 풀 수 있는 문제 유형이다. 수소 원자나 3차원 조화 진동자, 구형 무한 퍼텐셜 우물 등이 이 유형에 속한다.

정의

중심 퍼텐셜은 구면 대칭인 퍼텐셜 ${\displaystyle V(r)}$을 말한다. 즉, 해밀토니언은 다음과 같다.

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)}$.

여기서 ${\displaystyle r}$은 퍼텐셜 중심에서부터의 거리이고, ${\displaystyle \nabla ^{2}}$는 라플라스 연산자, ${\displaystyle m}$은 입자의 질량이다.

구면좌표계에서의 변수분리법

문제가 구면 대칭이므로, 구면좌표계 ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$로의 변수분리법이 자연스러운 가설 풀이다. 즉, 다음과 같이 쓰자.

${\displaystyle \psi (r)=R(r)Y(\theta ,\phi )}$.

여기서 ${\displaystyle Y(\theta ,\phi )}$는 다음을 만족하여야 한다.

${\displaystyle \nabla ^{2}Y(\theta ,\phi )=}$(상수)

이러한 함수는 구면 조화 함수 ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$라고 하며, 다음을 만족한다.

${\displaystyle \nabla ^{2}Y_{l}^{m}=-l(l+1)Y_{l}^{m}/r^{2}}$.

여기서 ${\displaystyle l}$은 음이 아닌 정수이며, ${\displaystyle m}$은 ${\displaystyle -l}$과 ${\displaystyle l}$ 사이의 정수다. 따라서, ${\displaystyle R(r)}$은 다음을 만족한다.

${\displaystyle -{\frac {1}{2mr^{2}}}{\frac {d}{dr}}r^{2}{\frac {d}{dr}}R(r)+{\frac {l(l+1)}{2mr^{2}}}R(r)+V(r)=ER(r)}$.

이를 ${\displaystyle u(r)=rR(r)}$로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle -{\frac {1}{2mr^{2}}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}u(r)+{\frac {l(l+1)}{2mr^{2}}}u(r)+V(r)=Eu(r)}$.

따라서 3차원 중심 퍼텐셜 문제는 유효 퍼텐셜

${\displaystyle V_{\text{eff}}(r)=V(r)+{\frac {l(l+1)}{2mr^{2}}}}$

속에 갇힌 1차원 입자로 환원됨을 알 수 있다.

참고 문헌

• Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano (2011). 《Modern Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805382917. 
• Griffiths, David J. (2006). 《양자역학》. 권영준 역. 서울: 청범출판사. ISBN 898824723X. 2013년 8월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2012년 10월 17일에 확인함. 
  • 원서: Griffiths, David J. (2005). 《Introduction to Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0131118927.