지연미분방정식

수학에서 지연미분방정식(delay differential equations, DDEs)은 특정한 시간에서의 미지의 함수의 도함수가 이전의 함숫값들의 항들로 나타내어지는 미분 방정식의 일종이다.

${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$에 대한 시간-지연방정식에 대한 일반적인 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f(t,x(t),x_{t})}$

이때 ${\displaystyle x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}}$는 이전의 해의 자취를 나타낸다. 이 방정식에서, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\times C^{1}}$에서 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$로의 함수 연산자이다.

지연미분방정식의 예

• 연속지연

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\,{\rm {d}}\mu (\tau )\right)}$

• 이산지연

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\dotsc ,x(t-\tau _{m}))}$ for ${\displaystyle \tau _{1}>\dotsb >\tau _{m}\geq 0}$.

• 이산선형지연

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dotsb +A_{m}x(t-\tau _{m})}$

단, ${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$.

• 팬터그래프 방정식

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),}$

이때 a, b, λ는 상수이고 0 < λ < 1이다. 이 방정식과 좀 더 일반화된 형태는 기차의 팬터그래프의 이름을 따서 지어졌다.

외부 링크

• (영어) Scholarpedia: Delay-differential equation
• (영어) Delay differential equations in single spicies dynamics