체 (수론)
해석적 수론에서, 체(sieve)는 특정한 조건을 만족시키는 정수의 집합이다.
잘 알려진 예로는 소수를 정수의 집합에서 추출하는 에라토스테네스의 체가 있다.
실제로, 이러한 체에 의해 생성 된 수가 소수의 속성을 공유하고 있는 것을 확인할 수 있다.
체의 목적
[편집]체는 정수론의 일반적인 기법 중 하나로, 체로 쳐진 정수 집합의 크기를 세고, 더 실용적으로 추정하기 위해 고안되었다. 체로 쳐진 집합의 예로는 어떠한 상한 X 이하의 모든 소수의 집합 등이 있다. 이에 상응하는 체의 예로는 에라토스테네스의 체, 또는 보다 일반적인 르장드르 체이다. 이 방법을 사용한 소수에 대한 직접적인 공략은 오차항의 축적으로 곧 명백하게 난관에 도달하게 된다.[출처 필요] 20세기 정수론의 주요 가닥에서, 체가 무엇인지에 대한 소박한 발상을 통해 정면 공격을 시도하는데에 발생하는 어려움을 피하는 방법이 발견되기도 하였다.[출처 필요]
하나의 성공적인 접근법은 원래의 집합보다 일반적으로 다소 크고 분석하기 쉬운, 더 간단한 집합 (예를 들어, 거의 소수의 집합)에 의해 체로 쳐진 수들의 집합 (예를 들어, 소수의 집합)을 근사하는 것이다. 보다 정교한 체는 집합 그 자체에 직접적으로 적용되지 않지만, 대신에 집합에서 신중히 선택한 무게 함수에 따라 집합을 센다. (이 집합의 일부 원소에 다른 원소보다 더 많은 "가중치"를 부여하는 옵션). 또한, 일부 최신 응용에서는 체를 사용하여 체로 쳐진 세트의 크기를 추정하지 않고, 대신 함수값이 집합 안에서 크고 외부에서는 작은 함수를 생성하며 이는 집합의 특성 함수보다 더 분석하기 쉽다.
체의 종류들
[편집]현대 체는 브룬 체, 셀베르그 체, 투란 체, 커다란 체 및 더 큰 체를 포함한다. 체 이론의 원래 목적 중 하나는 쌍둥이 소수 추측과 같은 정수론의 주요 추측을 증명하려고 시도하는 것이었다. sieve 이론의 최초의 방대한 목표는 여전히 대부분 미완성이지만, 특히 다른 이론적인 도구와 결합하여 부분적인 성공이 있었다. 다음은 그 예시이다:
- 브룬의 정리 (Brun's theorem): 쌍둥이 소수의 역수의 합은 수렴한다. (반면에 소수의 역수의 합은 발산한다.)
- 천의 정리 (Chen's theorem): p + 2가 소수 또는 반소수 (두 소수의 곱)인 소수 p가 무한히 존재한다는 것을 증명하였다. 천징룬의 밀접한 관련 정리는 충분히 큰 짝수는 한 소수와 소수 또는 반소수의 합이라는걸 알려준다. 이들은 각각 쌍둥이 소수 추측과 골드바흐 추측에 거의 가깝게 빗나간 것으로 생각할 수 있다.
- 체 이론의 기본 정리 (The fundamental lemma of sieve theory):
- Friedlander-Iwaniec 정리: 꼴의 소수는 무한히 많이 존재한다.
- 장의 정리 (Zhang's theorem): 2014년 장이탕은 두 소수의 간격이 N보다 작은 소수쌍이 무한히 있음을 증명하였다. Maynard-Tao 정리(Maynard 2015)는 장의 정리를 임의로 긴 소수 수열로 일반화하였다.
체 이론의 기술들
[편집]체 이론의 접근법은 매우 강력 할 수 있지만 parity problem으로 알려진 장애물에 의해 한계가 있는 것으로 보인다. 대략적으로, parity problem은 체 이론이 소인수를 홀수 개 갖는 수와 짝수 개 갖는 수를 구별하는 것이 매우 어렵다고 주장한다. parity problem은 아직 잘 이해되지 않았다.
수론의 다른 방법과 비교하여, 체 이론은 대수적 수론이나 해석적 수론에서 정교한 개념을 반드시 필요로 하진 않는다는 점에서 비교적 초등적이다. 그럼에도 불구하고, 더 진보된 체는 특히 수론에서 다른 심층 기법과 결합 될 때 매우 복잡하고 섬세해질 수 있다.
이 글에서 서술하는 체 (sieve) 이론은 2차체 (quadratic sieve) 및 일반적인 수체의 체 (general number field sieve)와 같은 정수 분해 체 방법과 밀접한 관련이 없다. 이러한 인수 분해 방법은 에라토스테네스의 체의 아이디어를 사용하여 숫자 목록의 구성원이 작은 소수에 완전히 통합 될 수 있는지를 효율적으로 결정한다.