초완전수

자연수 ${\displaystyle n}$이 ${\displaystyle n=1+k(\sigma (n)-n-1)}$ (단, ${\displaystyle \sigma (n)}$는 n의 양의 약수의 합)을 만족했을 때, ${\displaystyle n}$을 ${\displaystyle k}$-초완전수(超完全數,hyperfect number)라 부른다. 어떤 수가 완전수인 것은 그 수가 1-초완전수인 것과 동치이다.

모든 ${\displaystyle k}$-초완전수를 작은 순서대로 나열하면 다음과 같다.

6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (OEIS의 A034897)

여기에서 각각의 수에 해당하는 ${\displaystyle k}$ 값은 다음과 같다.

1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (OEIS의 A034898^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]})

완전수를 제외한 모든 ${\displaystyle k}$-초완전수를 나열하면 다음과 같다.

21, 301, 325, 697, 1333, ... (OEIS의 A007592^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]})

초완전수의 목록

다음 표는 ${\displaystyle k}$값에 대한 알려진 ${\displaystyle k}$-초완전수를 해당하는 OEIS 수열과 함께 나타내고 있다.

${\displaystyle k}$	OEIS	알려진 ${\displaystyle k}$-초완전수
1	A000396	6, 28, 496, 8128, 33550336, ...
2	A007593^[깨진 링크(과거 내용 찾기)]	21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ...
3		325, ...
4		1950625, 1220640625, ...
6	A028499^[깨진 링크(과거 내용 찾기)]	301, 16513, 60110701, 1977225901, ...
10		159841, ...
11		10693, ...
12	A028500^[깨진 링크(과거 내용 찾기)]	697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ...
18	A028501^[깨진 링크(과거 내용 찾기)]	1333, 1909, 2469601, 893748277, ...
19		51301, ...
30		3901, 28600321, ...
31		214273, ...
35		306181, ...
40		115788961, ...
48		26977, 9560844577, ...
59		1433701, ...
60		24601, ...
66		296341, ...
75		2924101, ...
78		486877, ...
91		5199013, ...
100		10509080401, ...
108		275833, ...
126		12161963773, ...
132		96361, 130153, 495529, ...
136		156276648817, ...
138		46727970517, 51886178401, ...
140		1118457481, ...
168		250321, ...
174		7744461466717, ...
180		12211188308281, ...
190		1167773821, ...
192		163201, 137008036993, ...
198		1564317613, ...
206		626946794653, 54114833564509, ...
222		348231627849277, ...
228		391854937, 102744892633, 3710434289467, ...
252		389593, 1218260233, ...
276		72315968283289, ...
282		8898807853477, ...
296		444574821937, ...
342		542413, 26199602893, ...
348		66239465233897, ...
350		140460782701, ...
360		23911458481, ...
366		808861, ...
372		2469439417, ...
396		8432772615433, ...
402		8942902453, 813535908179653, ...
408		1238906223697, ...
414		8062678298557, ...
430		124528653669661, ...
438		6287557453, ...
480		1324790832961, ...
522		723378252872773, 106049331638192773, ...
546		211125067071829, ...
570		1345711391461, 5810517340434661, ...
660		13786783637881, ...
672		142718568339485377, ...
684		154643791177, ...
774		8695993590900027, ...
810		5646270598021, ...
814		31571188513, ...
816		31571188513, ...
820		1119337766869561, ...
968		52335185632753, ...
972		289085338292617, ...
978		60246544949557, ...
1050		64169172901, ...
1410		80293806421, ...
2772	A028502^[깨진 링크(과거 내용 찾기)]	95295817, 124035913, ...
3918		61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ...
9222		404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ...
9828		432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ...
14280		848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ...
23730		2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ...
31752	A034916^[깨진 링크(과거 내용 찾기)]	4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ...
55848		15166641361, 44783952721, 67623550801, ...
67782		18407557741, 18444431149, 34939858669, ...
92568		50611924273, 64781493169, 84213367729, ...
100932		50969246953, 53192980777, 82145123113, ...

성질

${\displaystyle k}$가 1보다 큰 홀수이고 ${\displaystyle p={\frac {3k+1}{2}},\ q=3k+4}$가 모두 소수라면 ${\displaystyle p^{2}q}$가 ${\displaystyle k}$-초완전수라는 것이 증명이 되어 있다. 2000년 Judson S. McCraine이 모든 1보다 큰 홀수 ${\displaystyle k}$에 대해 모든 ${\displaystyle k}$-초완전수가 이 꼴이라고 추측했지만 아직 증명이 되지 않았다. 서로 다른 홀수인 소수 ${\displaystyle p}$와 ${\displaystyle q}$가 존재하고 ${\displaystyle k(p+q)=pq-1}$를 만족하는 자연수 ${\displaystyle k}$가 있다면 ${\displaystyle pq}$는 ${\displaystyle k}$-초완전수이다.

${\displaystyle k>0}$이고 ${\displaystyle p=k+1}$이 소수일 때, ${\displaystyle q=p^{i}-p+1}$이 소수임을 성립시키는 모든 ${\displaystyle i}$에 대해 ${\displaystyle p^{i-1}q}$가 ${\displaystyle k}$-초완전수라는 사실도 알려졌다. 아래 테이블은 이를 만족시키는 ${\displaystyle k}$와 ${\displaystyle i}$의 목록을 나타내고 있다.

${\displaystyle k}$	OEIS	가능한 ${\displaystyle i}$의 값
16	A034922	11, 21, 127, 149, 469, ...
22		17, 61, 445, ...
28		33, 89, 101, ...
36		67, 95, 341, ...
42	A034923	4, 6, 42, 64, 65, ...
46	A034924	5, 11, 13, 53, 115, ...
52		21, 173, ...
58		11, 117, ...
72		21, 49, ...
88	A034925	9, 41, 51, 109, 483, ...
96		6, 11, 34, ...
100	A034926	3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ...

같이 보기

• 완전수

참고 문헌

논문

• Daniel Minoli, Robert Bear, Hyperperfect Numbers, PME (Pi Mu Epsilon) Journal, University Oklahoma, Fall 1975, pp. 153-157.
• Daniel Minoli, Sufficient Forms For Generalized Perfect Numbers, Ann. Fac. Sciences, Univ. Nation. Zaire, Section Mathem; Vol. 4, No. 2, Dec 1978, pp. 277-302.
• Daniel Minoli, Structural Issues For Hyperperfect Numbers, Fibonacci Quarterly, Feb. 1981, Vol. 19, No. 1, pp. 6-14.
• Daniel Minoli, Issues In Non-Linear Hyperperfect Numbers, Mathematics of Computation, Vol. 34, No. 150, April 1980, pp. 639-645.
• Daniel Minoli, New Results For Hyperperfect Numbers, Abstracts American Math. Soc., October 1980, Issue 6, Vol. 1, pp. 561.
• Daniel Minoli, W. Nakamine, Mersenne Numbers Rooted On 3 For Number Theoretic Transforms, 1980 IEEE International Conf. on Acoust., Speech and Signal Processing.
• Judson S. McCranie, A Study of Hyperperfect Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), https://web.archive.org/web/20040405175234/http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html

책

• Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, ISBN 0071406158 (p.114-134)

외부 링크

• MathWorld: 초완전수 (영문)