팔라티니 변분

팔라티니 변분(Palatini變分, 영어: Palatini variation)은 아인슈타인-힐베르트 작용(및 추가 물질 작용)을 리만 계량 또는 필바인의 2차 도함수에 대한 범함수 대신, 필바인과 스핀 접속의 1차 도함수에 대한 범함수로 여겨 변분법을 가하는 것을 말한다. 이 경우, 필바인은 일종의 보조장을 이루며, 페르미온 물질이 존재할 경우 일반적으로 스핀 접속은 0이 아닌 비틀림 텐서를 갖는다.

정의

준 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$의 필바인

${\displaystyle g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}\eta _{ab}}$

${\displaystyle e_{\mu }^{a}\in \Omega ^{1}(M;E)}$

과 스핀 접속

${\displaystyle e_{\nu }^{a}\nabla _{\mu }e^{b\nu }=\omega _{\mu }^{ab}}$

${\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}\in \Omega ^{1}\left(M;\bigvee ^{2}E\right)}$

을 생각하자. 여기서 ${\displaystyle E}$는 ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,D-1)}$-구조 벡터 다발이다.

그렇다면, 아인슈타인-힐베르트 작용을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle S[e,\omega ]={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int \mathrm {d} ^{D}x\,(\det e)\,e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu }R_{\mu \nu }{}^{ab}}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }{}^{ab}=2\partial _{[\mu }\omega _{\nu ]}^{ab}+2\omega _{[\mu }^{ac}\omega _{\nu ]c}{}^{b}}$^[1]:(7.10)

여기서

${\displaystyle X_{[\mu _{1}\dotso \mu _{p}]}={\frac {1}{p!}}\left(X_{\mu _{1}\dotso \mu _{p}}-\dotsb \right)}$

는 규격화된 완전 반대칭화이며, ${\displaystyle (\det e)}$는 ${\displaystyle D\times D}$ 정사각 행렬

${\displaystyle (e_{\mu }^{a})_{\mu ,a\in \{0,\dotsc ,D-1\}}}$

의 행렬식이며, 부피 형식의 성분이다.

이제, 이 범함수를 (${\displaystyle g_{\mu \nu }}$의 2차 도함수의 범함수 대신) 필바인과 ${\displaystyle e_{\mu }^{a}}$(의 0차 도함수)와 스핀 접속 ${\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}}$(의 0차 및 1차 도함수)의 범함수로 여겨, 변분법을 적용할 수 있다. 이를 팔라티니 변분이라고 한다. 이 경우, 필바인의 도함수가 등장하지 않으므로, 필바인은 보조장을 이룬다.

그렇다면, ${\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}}$에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}=e_{\nu }^{a}\nabla _{\mu }e^{b\nu }}$

여기서 우변은 물론 ${\displaystyle e}$를 사용한, ${\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}}$의 (원래) 정의와 같다. 이 조건은 스핀 접속이 비틀림 텐서가 0인 레비치비타 접속임을 의미한다.

또한, 이 작용에서 ${\displaystyle e_{\mu }^{a}}$에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 마찬가지로 리치 곡률이 0임, 즉

${\displaystyle R_{\mu }{}^{a}=e_{\mu }{}^{b}R_{\mu \nu }{}^{ab}=0}$

임을 의미한다. 이는 아인슈타인 방정식과 같다.

페르미온 물질이 있을 경우

필바인을 사용하지 않으면 일반적으로 스피너를 정의할 수 없다. 필바인을 사용하여 페르미온을 추가하고 팔라타니 변분을 적용할 경우, 스핀 접속은 페르미온의 세기의 제곱에 비례하는 비틀림 텐서를 갖게 된다.

구체적으로, 스피너장 ${\displaystyle \psi }$에 대하여 공변 미분

${\displaystyle \nabla _{\mu }\psi =\left(\partial _{\mu }+{\frac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}\gamma _{ab}\right)\psi }$

${\displaystyle \psi {\overset {\leftarrow }{\nabla }}_{\mu }=\partial _{\mu }{\bar {\psi }}-{\frac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}{\bar {\psi }}\gamma _{ab}}$

를 정의하자. 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 작용을 적을 수 있다.

${\displaystyle S=S_{\text{EH}}+{\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{D}x\,(\det e)\,\left(-{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\psi +{\bar {\psi }}{\overset {\leftarrow }{\nabla }}_{\mu }e_{a}^{\mu }\gamma ^{\mu }\psi \right)}$

이 경우, 위와 같이 팔라티니 변분을 취했을 때, 다음을 얻는다.^[1]:(8.3)

${\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}=\omega _{\mu }^{ab}[e]-{\frac {1}{4}}\kappa ^{2}{\bar {\psi }}\gamma _{abc}e^{c\nu }\psi }$

즉, 이는 비틀림 텐서

${\displaystyle 2\Gamma _{[\mu \nu ]}^{\rho }=T_{\mu \nu }{}^{\rho }={\frac {1}{2}}\kappa ^{2}{\bar {\psi }}\gamma _{\mu \nu \rho }\psi }$

에 해당한다.

이는 물리학적으로 ${\displaystyle S}$를 필바인의 2차 도함수로 구성된 범함수로 여기는 것과 다른 결과이다.^[1]:§8 (다만, 중력 상수가 매우 작으므로, 이 효과는 측정하기 매우 힘들다.)

역사

이탈리아의 수학자 아틸리오 팔라타니(이탈리아어: Attilio Palatini, 1889~1949)의 이름이 붙어 있다.^[2]

각주

1. Freedman, Daniel Z.; Van Proeyen, Antoine (2011년 11월). “Ingredients of supergravity”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 59 (11–12): 1118–1126. arXiv:1106.1097. Bibcode:2011ForPh..59.1118F. doi:10.1002/prop.201100059. 
2. Palatini, Attilio (1919). “Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton”. 《Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo》 (이탈리아어) 43: 203–212. 

• Tsamparlis, M. (1978). “On the Palatini method of variation”. 《J. Math. Phys.》 19 (3): 555. Bibcode:1978JMP....19..555T. doi:10.1063/1.523699. 
• Ferraris, M.; Francaviglia, M.; Reina, C. (1982). “Variational Formulation of General Relativity from 1915 to 1925 'Palatini's Method' Discovered by Einstein in 1925”. 《Gen. Rel. Grav.》 14: 243–254. Bibcode:1982GReGr..14..243F. doi:10.1007/BF00756060. 

외부 링크

• “First-order formulation of gravity”. 《nLab》 (영어).