호지 쌍대

미분기하학에서 호지 쌍대(Hodge雙對, Hodge dual)는 미분 형식을 그 여차원의 미분 형식으로 변환시키는 연산이다. 기호는 별표(${\displaystyle *}$). 호지 별표(Hodge star)로도 부른다.

정의

${\displaystyle (M,g)}$가 ${\displaystyle n}$차원 유향 리만 다양체 또는 준 리만 다양체이고, ${\displaystyle \alpha }$가 그 위에 정의된 ${\displaystyle k}$차 미분 형식이라고 하자 (${\displaystyle 0\leq k\leq n}$). 그렇다면, 준 리만 계량의 음악 동형을 통하여, ${\displaystyle k}$차 미분 형식을 ${\displaystyle (k,0)}$차 완전 반대칭 텐서로 대응시킬 수 있다.

${\displaystyle (-)^{\#}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Gamma \left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} M\right)}$

지표로 쓰면 이는 다음과 같다.

${\displaystyle (\alpha ^{\#})^{i_{1}i_{2}\dotsb i_{p}}=g^{i_{1}j_{1}}\dotsm g^{i_{p}j_{p}}\alpha _{j_{1}\dotso j_{p}}}$

이제, ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p}(M)}$의 호지 쌍대는 다음과 같다.

${\displaystyle \star \alpha =\alpha ^{\#}\lrcorner \omega \in \Omega ^{n-p}(M)}$

여기서

• ${\displaystyle \lrcorner }$는 ${\displaystyle (p,0)}$차 완전 반대칭 텐서와 ${\displaystyle n}$차 미분 형식 사이의 내부곱이다.
• ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}(M)}$는 준 리만 계량 및 방향으로 정의되는 부피 형식이다.

지표로 쓰면,

${\displaystyle \omega _{i_{1}\dotso i_{n}}={\sqrt {|\det g|}}\epsilon _{i_{1}\dotso i_{n}}}$

이므로,

${\displaystyle (\star \alpha )_{i_{p+1}\dotso i_{n}}={\frac {1}{p!}}{\sqrt {|\det g|}}\epsilon _{i_{1}\dotso i_{n}}g^{i_{1}j_{1}}\dotsm g^{i_{p}j_{p}}\alpha _{j_{1}\dotso j_{p}}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle \epsilon ^{i_{1},\dots ,i_{n}}}$은 ${\displaystyle n}$차원 레비치비타 기호이다.

벡터 값 미분 형식의 호지 쌍대

보다 일반적으로, 유향 준 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위의 벡터 다발 ${\displaystyle E}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle E}$값의 ${\displaystyle k}$차 미분 형식 ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M;E)}$에 대하여 마찬가지로 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \alpha ^{\#}\in \Gamma \left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} M\otimes E\right)}$

${\displaystyle \star \alpha =\alpha ^{\#}\lrcorner \omega \in \Omega ^{n-p}(M;E)}$

즉, 성분으로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle (\star \alpha )_{i_{p+1}\dotso i_{n}}^{a}={\frac {1}{p!}}{\sqrt {|\det g|}}\epsilon _{i_{1}\dotso i_{n}}g^{i_{1}j_{1}}\dotsm g^{i_{p}j_{p}}\alpha _{j_{1}\dotso j_{p}}^{a}}$

성질

쌍대성

${\displaystyle \alpha }$가 ${\displaystyle (n-q,q)}$차원 준 리만 다양체 위에 정의된 ${\displaystyle k}$차 미분 형식이라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \star \star \alpha =(-1)^{k(n-k)+q}\alpha }$

이다. 특히, 만약 ${\displaystyle n}$이 짝수라면, 이는 선형 변환

${\displaystyle \star \colon \Omega ^{n/2}(M)\to \Omega ^{n/2}(M)}$

을 정의한다. 만약 ${\displaystyle \star \star =+1}$인 경우, 가운데 차수 미분 형식은 자기 쌍대 미분 형식(영어: self-dual differential form)

${\displaystyle \alpha =\star \alpha }$

과 자기 반쌍대 미분 형식(영어: anti-self-dual differential form)

${\displaystyle \alpha =-\star \alpha }$

으로 분해된다.

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}(\alpha +\star \alpha )+{\frac {1}{2}}(\alpha -\star \alpha )}$

만약 ${\displaystyle \star \star =-1}$인 경우, 이는 가운데 차수 미분 형식의 실수 벡터 공간에 복소구조를 정의한다.

내적

이제, 다음과 같은 내적을 생각하자.

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\int _{M}(\alpha ^{\#}\lrcorner \beta )\omega =\int _{M}{\frac {1}{p!}}g^{i_{1}j_{1}}\dotsm g^{i_{p}j_{p}}\alpha _{i_{1}\dotsb i_{q}}\beta _{j_{1}\dotsb j_{q}}{\sqrt {|\det g|}}\,\mathrm {d} ^{n}x}$

이는 물론 수렴하지 않을 수 있다. 그러나 부분 공간

${\displaystyle \left\{\alpha \in \Omega ^{p}(M)\colon \langle \alpha ,\alpha \rangle <\infty \right\}}$

위에서 이 연산은 잘 정의되며, 이에 대한 완비화를 취하면 이는 실수 힐베르트 공간을 이룬다. 이를 ${\displaystyle H^{p}}$로 표기하자. (${\displaystyle p=0}$인 경우 이는 르베그 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(M)}$과 같다.) 이에 대하여 마찬가지로 쐐기곱을

${\displaystyle (\wedge )\colon H^{p}\otimes H^{q}\to H^{p+q}}$

로 정의할 수 있다.

그렇다면, 임의의 ${\displaystyle \alpha \in H^{p}}$에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle \forall \beta \in H^{p}\colon \beta \wedge \star \alpha =\langle \beta ,\alpha \rangle _{H^{p}}\omega \in H^{n}}$

즉, 이 경우 호지 쌍대 연산은 힐베르트 공간의 내적과 쐐기곱 사이의 변환이다.

공미분

미분 형식의 공미분(codifferential) ${\displaystyle \delta }$는 미분 형식의 차수를 1 증가시키는 연산으로, 외미분 ${\displaystyle d}$에 대응하는 연산이다. 이는 다음을 만족한다.

${\displaystyle \langle \delta \alpha ,\beta \rangle =\langle \alpha ,\mathrm {d} \beta \rangle }$.

따라서 이는 다음과 같이 쓸 수 있다. ${\displaystyle \alpha }$가 ${\displaystyle k}$차 형식이라면,

${\displaystyle \delta \alpha =(-1)^{k}\star ^{-1}\mathrm {d} \star \alpha }$

이다.

공미분은 외미분과 마찬가지로 항등식 ${\displaystyle \delta ^{2}=0}$을 만족시킨다.

미분 형식에 대한 라플라스-벨트라미 연산자 ${\displaystyle \Delta }$는 공미분을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \Delta =(d+\delta )^{2}=d\delta +\delta d}$.

역사

윌리엄 밸런스 더글러스 호지가 호지 이론의 일부로서 도입하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hodge star”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Hodge star operator”. 《nLab》 (영어).