화살집 게이지 이론

양자장론에서 화살집 게이지 이론(화살집gauge異論, quiver gauge theory)은 특정한 꼴의 화살집으로 정의되는 게이지 이론이다.

정의

편의상, 4차원 시공간의 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭 게이지 이론을 생각하자.

화살집 게이지 이론은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 유한 화살집 ${\displaystyle Q}$
• ${\displaystyle Q}$의 각 꼭짓점 ${\displaystyle v\in \operatorname {V} (Q)}$에 대하여, 연결 콤팩트 리 군 ${\displaystyle G_{v}}$. 이는 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {U} (N)}$, 특수 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (N)}$, 특수 직교군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (N)}$, 심플렉틱 군 ${\displaystyle \operatorname {USp} (N)}$ 가운데 하나이어야 한다.

이 경우, 화살집 게이지 이론은 다음과 같은 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭 게이지 이론이다.

• 게이지 군은 ${\displaystyle \textstyle \prod _{v\in \operatorname {V} (Q)}G_{v}}$이다.
• ${\displaystyle Q}$의 각 변 ${\displaystyle e\colon u\to v}$에 대하여, 정의 표현(영어: defining representation) ${\displaystyle {\bar {N}}_{u}\otimes N_{v}}$로 변환하는 손지기 초장 ${\displaystyle \Phi _{e}}$이 존재한다.

이러한 표현을 쌍기본 표현(bifundamental representation)이라고 한다. 예를 들어, ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$와 ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)}$ 사이에 있는 변은 6차원 표현 ${\displaystyle {\bar {\mathbf {2} }}_{\operatorname {SU} (2)}\otimes {\mathbf {3} }_{\operatorname {SU} (3)}}$으로 변환한다.

다른 차원의 경우도 마찬가지의 꼴로 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다.

화살집 도형은 특히 등각 게이지 이론을 나타내는 데 편하다. 화살집 도형의 구조로 이론이 등각 대칭을 보존하는지 여부를 쉽게 확인할 수 있다.

성질

변칙 상쇄 조건

편의상, 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ SU(N)×…×SU(N) 양-밀스 이론을 생각하자. 이는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 유한 화살집 ${\displaystyle Q}$
• 함수 ${\displaystyle N\colon \operatorname {V} (Q)\to \{2,3,\dotsc \}}$. 즉, 각 꼭짓점 ${\displaystyle v\in \operatorname {V} (Q)}$에 대하여, 2 이상의 정수 ${\displaystyle N_{v}}$. 즉, 이 꼭짓점은 게이지 군 ${\displaystyle \operatorname {U} (N_{v})}$에 대응한다.

이제, 다음과 같은 ${\displaystyle |\operatorname {E} (Q)|\times |\operatorname {V} (Q)|}$ 부호 결합 행렬(영어: signed incidence matrix)을 정의하자.

${\displaystyle B_{Q}\in \operatorname {Mat} (|\operatorname {V} (Q)|,|\operatorname {E} (Q)|;\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle M(e,v)={\begin{cases}+1&v=t(e)\neq s(e)\\-1&v=s(e)\neq t(e)\\0&v=t(e)=s(e)\\0&s(e)\neq v\neq t(e)\end{cases}}}$

그렇다면, 부호 인접 행렬(영어: signed adjacency matrix)

${\displaystyle A_{Q}=B_{Q}^{\top }B_{Q}}$

을 정의할 수 있다.

또한, ${\displaystyle N}$을 ${\displaystyle |\operatorname {V} (Q)|\times 1}$ 열벡터로 간주하자.

${\displaystyle (Q,N)}$에 대응되는 화살집 게이지 이론이 게이지 변칙을 갖지 않으려면, 다음 조건이 성립해야 한다.^[1]:(2.4)

${\displaystyle B_{Q}^{\top }B_{Q}N=0}$

이는 각 꼭짓점 ${\displaystyle \operatorname {SU} (N_{v})}$에서, 기본 표현과 반기본 표현의 수의 합이 0이 되어야 하기 때문이다. (만약 ${\displaystyle N_{v}=2}$일 경우, 대역적 위튼 변칙이 발생한다.)

끈 이론을 통한 구성

일부 화살집 게이지 이론은 점근 국소 유클리드 공간 위에 평행한 D-막들을 놓았을 때, 이 D-막의 포갬 위에 존재하는 유효 장론으로 구성될 수 있다.^{[2][3][4][1]:§2.2}

구체적으로, SU(2)의 유한 부분군 ${\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {SU} (2)}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\cong \mathbb {C} ^{2}}$의 뒤발 특이점

${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\Gamma }$

을 정의할 수 있다. 이는 오비폴드이므로, 이 위의 초끈 이론을 정의할 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 오비폴드의 특이점에 ${\displaystyle N}$개의 D5-막을 배치하자. 그렇다면, 이 위에는 ${\displaystyle \Gamma }$의 매케이 화살집에 해당하는 5+1차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,0)}$ 화살집 게이지 이론이 존재한다.^{[2][4]:§4[5]:§2.1}

이는 오비폴드를 가하기 이전의 6차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$ 이론에 오비폴드를 가한 것으로 볼 수 있다. 이는 (${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,0)}$의 언어를 사용하면) 하나의 딸림표현 벡터 초다중항과 하나의 딸림표현 하이퍼 초다중항으로 구성된다. 이론의 각 오비폴드 섹터는 일반적으로 천-페이턴 지표 공간 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$은 ${\displaystyle \Gamma }$의 유니터리 표현으로 분류된다. 이러한 표현을 ${\displaystyle \Gamma }$의 기약 표현으로 분해하자.

${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}=\bigoplus N_{i}\rho _{i}}$

그렇다면, 이 경우 ${\displaystyle \operatorname {U} (N)}$ 게이지 군은

${\displaystyle \prod _{i}\operatorname {U} (N_{i})}$

로 깨지게 된다. (이 가운데 U(1) 성분은 나머지 성분과 상호작용하지 않아, 이는 ${\displaystyle \textstyle \prod _{i}\operatorname {SU} (N_{i})}$로 여겨도 무방하다.) 하이퍼 초다중항의 경우, SU(2) R대칭의 2를 따라 변환하므로, 이들은 2에 대한 매케이 화살집의 변들에 해당하는 게이지 표현을 갖는다.

D5-막 대신 T-이중성을 가하여 6차원 이하의 임의의 차원에서 위와 같은 16개의 초전하를 갖는 화살집 게이지 이론을 정의할 수 있다. 예를 들어, 4차원의 경우 이는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초대칭에 해당한다.

마찬가지로, SU(3)의 유한 부분군 ${\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {SU} (3)}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\cong \mathbb {C} ^{3}}$의 오비폴드

${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}/\Gamma }$

를 생각할 수 있다. ⅡB 초끈 이론에서, 오비폴드의 특이점에 ${\displaystyle N}$개의 D3-막을 배치하자. 그렇다면, 이 위에는 ${\displaystyle \Gamma }$의 매케이 화살집에 해당하는 3+1차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 화살집 게이지 이론이 존재한다. 이는 4차원 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론에서 R대칭 SU(4) 가운데 SU(3)만큼을 부분군을 통하여 오비폴드를 가하는 것에 해당한다. (SU(4) 전체에 속하는 일반적 부분군을 사용하면, 아무 초대칭이 남지 못한다.) 이 경우, 스칼라 보손들은 SU(3)의 3⊕3 (SU(4)의 6) 표현을 따르며, 페르미온들은 SU(3)의 3⊕1 (SU(4)의 4) 표현을 따른다. 즉, 이들은 해당 표현에 대한 매케이 화살집으로 묘사되는 게이지 표현을 따른다. 이 가운데 3(또는 3)에 해당하는 것은 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 손지기 초다중항을 이루며, 1에 해당하는 페르미온은 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 벡터 초다중항의 일부이다.

예

표준 모형의 한 세대의 장들은 다음과 같이 화살집으로 표기된다.

${\displaystyle 1\,{\overset {L}{\to }}\,\operatorname {SU} (2)\,{\overset {Q}{\to }}\,\operatorname {SU} (3)\,{\overset {U^{\mathsf {c}}}{\underset {D^{\mathsf {c}}}{\rightrightarrows }}}\,1}$

이로서, ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$에 대하여 게이지 변칙이 발생하지 않음을 쉽게 확인할 수 있다. (그러나 이는 U(1)을 표기하지 못한다.)

역사

수컷 말코손바닥사슴은 화려한 뿔을 가진다.

게이지 이론의 구조를 화살집으로 나타내는 아이디어는 하워드 조자이가 1985년에 최초로 도입하였다.^[6] 조자이는 이러한 화살집을 “무스”(영어: moose)라고 불렀는데, 이는 말코손바닥사슴을 뜻한다. 이는 화살집의 모양을 수컷 말코손바닥사슴의 뿔에 빗댄 것이다.

마이클 더글러스(영어: Michael R. Douglas, 1961~)와 그레고리 윈스럽 무어가 이러한 꼴의 이론이 끈 이론에서 자연스럽게 발생한다는 것을 1996년에 증명하였다.^[2]

같이 보기

• 화살집 (수학)

각주

1. Yamazaki, Masahito (2008년 6월). “Brane tilings and their applications”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 56 (6): 555-686. arXiv:0803.4474. Bibcode:2008ForPh..56..555Y. doi:10.1002/prop.200810536. ISSN 0015-8208. 
2. Douglas, Michael R.; Moore, Gregory Winthrop (1996). “D-branes, quivers, and ALE instantons” (영어). arXiv:hep-th/9603167. Bibcode:1996hep.th....3167D. 
3. Belhaj, Adil (2003년 7월). “On geometric engineering of N=1 ADE quiver models” (영어). arXiv:hep-th/0310230. Bibcode:2003hep.th...10230B. 
4. He, Yang-Hui (2004). “Lectures on D-branes, gauge theories and Calabi–Yau singularities” (영어). arXiv:hep-th/0408142. 
5. (영어). arXiv:hep-th/9803015.  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
6. Georgi, Howard (1986). 〈Composite models and GUTS (?) or fun with mooses〉. Rudaz, Serge; Walsh, Thomas F. 《Sixth workshop on grand unification. Proceedings of the conference held in April, 1985 at University of Minnesota, Minneapolis》 (영어). World Scientific. 349–359쪽. Bibcode:1986grun.conf..349G. 

• Frampton, Paul H.; Kephart, Thomas W. (2008년 1월). “Quiver gauge theory and conformality at the TeV scale”. 《Physics Reports》 (영어) 454: 203–269. arXiv:0706.4259. Bibcode:2008PhR...454..203F. doi:10.1016/j.physrep.2007.09.005. ISSN 0370-1573. 
• Uranga, Angel M. (2000). “From quiver diagrams to particle physics” (영어). arXiv:hep-th/0007173. Bibcode:2000hep.th....7173U. 
• Malyshev, Dmitry; Herman Verlinde (2007년 9월). “D-branes at singularities and string phenomenology”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 (영어) 171: 139-163. arXiv:0711.2451. Bibcode:2007NuPhS.171..139M. doi:10.1016/j.nuclphysbps.2007.06.009. ISSN 0920-5632.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• He, Yang-Hui (2004). “Lectures on D-branes, gauge theories and Calabi–Yau singularities” (영어). arXiv:hep-th/0408142. Bibcode:2004hep.th....8142H. 
• Krefl, Daniel (2008년 8월). “Brane tilings for orientifolds”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 56 (7-9): 869-875. arXiv:0804.0329. Bibcode:2008ForPh..56..869K. doi:10.1002/prop.200810554. ISSN 0015-8208. 

외부 링크

• “Quiver gauge theory”. 《nLab》 (영어).