환원 불능의 경우

대수학에서, 환원 불능의 경우(라틴어: casus irreducibilis 카수스 이레두키빌리스^[*])는 서로 다른 세 실근을 갖는 유리수 계수 3차 기약 다항식의 실근을 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 때, 실수이지 않은 복소수에 거듭제곱근을 씌우는 것을 피할 수 없는 현상이다.

정의

유리수체

유리수 계수 다항식

${\displaystyle f\in \mathbb {Q} [x]}$

가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.

• 기약 다항식이다. 즉, 더 낮은 차수의 유리수 계수 다항식들의 곱으로 나타낼 수 없다.
• 모든 근이 실수이다.
• 하나 이상의 근을 실수 및 거듭제곱근 및 사칙 연산만을 사용하여 나타낼 수 있다.

그렇다면, ${\displaystyle f}$의 모든 근은 작도 가능한 수이다.^[1]:633 즉, 유리수 및 제곱근 및 사칙 연산만으로 나타낼 수 있다. 특히, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle f}$의 모든 근은 실수 및 사칙 연산 및 거듭제곱근만을 사용하여 나타낼 수 있다.
• ${\displaystyle f}$의 분해체의 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (f)}$는 2-군이다. 즉, ${\displaystyle f}$의 분해체의 차수는 2의 거듭제곱이다.
• ${\displaystyle f}$의 차수는 2의 거듭제곱이다.

예를 들어, 만약 유리수 계수 3차 기약 다항식 ${\displaystyle f\in \mathbb {Q} [x]}$가 서로 다른 세 실근을 갖는다면 (즉, 판별식이 양의 유리수라면), 어떤 실근도 실수의 거듭제곱근만을 사용하여 나타낼 수 없다. 즉, 반드시 실수이지 않은 복소수의 거듭제곱근을 사용하여야 한다. 이를 환원 불능의 경우라고 한다.

형식적 실체

다음이 주어졌다고 하자.

• 형식적 실체 ${\displaystyle Q}$. 그 실폐포를 ${\displaystyle Q^{\operatorname {re} }}$로 쓰자.
• 다항식 ${\displaystyle f\in Q[x]}$. 또한, 이는 다음을 만족시킨다.
  • 기약 다항식이다. 즉, 더 낮은 차수의 ${\displaystyle Q}$ 계수 다항식들의 곱으로 나타낼 수 없다.
  • 모든 근이 ${\displaystyle Q^{\operatorname {re} }}$의 원소이다.
  • 하나 이상의 근을 ${\displaystyle Q^{\operatorname {re} }}$의 원소 및 거듭제곱근 및 사칙 연산만을 사용하여 나타낼 수 있다.

그렇다면, ${\displaystyle f}$의 모든 근은 작도 가능한 원소이다.^[1]:633 즉, ${\displaystyle Q}$의 원소 및 제곱근 및 사칙 연산만을 사용하여 나타낼 수 있다. 특히, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle f}$의 모든 근은 ${\displaystyle Q^{\operatorname {re} }}$의 원소 및 거듭제곱근 및 사칙 연산만을 사용하여 나타낼 수 있다.
• ${\displaystyle f}$의 분해체의 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (f)}$는 2-군이다. 즉, ${\displaystyle f}$의 분해체의 차수는 2의 거듭제곱이다.
• ${\displaystyle f}$의 차수는 2의 거듭제곱이다.

특히, 유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$는 형식적 실체이며, 그 실폐포 ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\operatorname {re} }={\bar {\mathbb {Q} }}\cap \mathbb {R} }$는 대수적 수인 실수의 체이다.

참고 문헌

1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. Chichester: Wiley. ISBN 0-471-43334-9. MR 2286236. Zbl 1037.00003. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Casus irreducibilis”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Definition: irreducible case of cubic”. 《ProofWiki》 (영어).