𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론

이론물리학에서, 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초대칭 양-밀스 이론(四次元${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$超對稱[楊]-Mills理論, 영어: four-dimensional ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ supersymmetric Yang–Mills theory)은 중력을 포함하지 않는, 4차원에서 최대의 초대칭 대수를 갖는 초대칭 게이지 이론이다. 이 이론은 사실 초등각 장론을 이루며, 초끈 이론과 깊은 관계를 갖는다.

정의

콤팩트 리 군 ${\displaystyle G}$를 게이지 군으로 삼는 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초대칭 양-밀스 이론의 라그랑지언은 다음과 같다. $${\displaystyle L=\operatorname {tr} \left\{-{\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\theta }{8\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\bar {F}}^{\mu \nu }-i{\overline {\lambda }}^{a}{\overline {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\lambda _{a}-D_{\mu }X^{i}D^{\mu }X^{i}+gC_{i}^{ab}\lambda _{a}[X^{i},\lambda _{b}]+g{\overline {C}}_{iab}{\overline {\lambda }}^{a}[X^{i},{\overline {\lambda }}^{b}]+{\frac {g^{2}}{2}}[X^{i},X^{j}]^{2}\right\}}$$ 여기서 ${\displaystyle \mu ,\nu =0,1,2,3}$는 3+1차원 시공간 벡터 표현의 지표이며, ${\displaystyle i,j=1,\dots ,6}$는 Spin(6)=SU(4) R대칭 벡터 표현의 지표이며, ${\displaystyle f}$는 게이지 군 ${\displaystyle G}$의 딸림표현의 지표이다. ${\displaystyle C_{i}^{ab}}$는 SU(4)의 구조 상수이다. ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{k}}$는 양-밀스 이론의 게이지 장세기 ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{k}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{k}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{k}+f^{klm}A_{\mu }^{l}A_{\nu }^{m}}$ 이다 (${\displaystyle A_{\mu }^{k}}$는 게이지 퍼텐셜). ${\displaystyle g}$와 ${\displaystyle \theta }$는 게이지 결합 상수이며, 게이지 군의 종류와 더불어 이론의 유일한 매개 변수이다. 비재규격화 정리에 따라서, ${\displaystyle g}$와 ${\displaystyle \theta }$는 재규격화를 겪지 않으며, 이 이론은 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초등각 대칭을 갖는다.

구성

4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초대칭 양-밀스 이론은 같은 게이지 군을 갖는 10차원 초대칭 양-밀스 이론의 차원 축소(영어: dimensional reduction)로 얻어진다. 이 경우, Spin(6) R대칭군은 축소된 6개의 차원에 대한 회전 대칭으로서 발생한다.

또한, 적어도 특정한 게이지 군에 대하여, 이 이론은 D3-막 위에 자연스럽게 존재하는 양자장론이다(이 사실은 ${\displaystyle \operatorname {AdS} _{5}\times \mathbb {S} ^{5}}$ AdS/CFT 대응성에 핵심적인 역할을 한다). 이 경우, 게이지 군의 종류는 겹쳐진 D3-막의 수와 오리엔티폴드의 유무에 따라 결정된다. 예를 들어, 오리엔티폴드가 없으며, ${\displaystyle N}$개의 D3-막이 존재한다면, 이 경우 ${\displaystyle \operatorname {U} (N)}$ 게이지 군이 발생한다.

성질

몬토넨-올리브 이중성

${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초대칭 양-밀스 이론에서는 일종의 S-이중성이 성립하는데, 이를 몬토넨-올리브 이중성(Montonen–Olive duality)이라고 한다.^[1][2] 구체적으로, 두 결합 상수 ${\displaystyle g}$와 ${\displaystyle \theta }$를 다음과 같이 하나의 복소수 결합 상수

${\displaystyle \tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}}$

로 표기하였을 때, 이 이론은

${\displaystyle \tau \mapsto \tau +1}$

에 의하여 불변이며 (즉, ${\displaystyle \theta }$는 ${\displaystyle 2\pi }$ 주기의 각도), 또한 게이지 군 ${\displaystyle G}$의, 결합 상수 ${\displaystyle \tau }$의 초대칭 양-밀스 이론은 게이지 군 ${\displaystyle L_{G}}$와 결합 상수

${\displaystyle \tau '={\frac {-1}{n_{G}\tau }}}$

를 갖는 이론과 동형이다. 여기서 ${\displaystyle L_{G}}$는 ${\displaystyle G}$의 랭글랜즈 쌍대군이며, ${\displaystyle n_{G}}$는 랭글랜즈 쌍대성에 등장하는 정수이다. 특히, ${\displaystyle n_{G}=1}$인 경우 이는 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )}$ 모듈러 군을 이룬다.

몬토넨-올리브 이중성은 IIB종 초끈 이론으로 설명할 수 있다.^{[3][4]:186–187} ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ ${\displaystyle U(N)}$ 양-밀스 이론은 ${\displaystyle N}$개의 겹친 D3-막들 위에 존재하는 유효 이론이다. D3-막에는 기본 끈(F-끈)과 D1-막(D-끈)이 붙어 있는데, F-끈의 끝은 전기 홀극, D-끈의 끝은 자기 홀극을 이룬다. IIB종 초끈 이론에서는 S-이중성은 F-끈과 D-끈을 맞바꾸게 되고, 이 이중성은 물론 D3-막의 유효 이론도 따르게 된다. 이 이중성이 몬토넨-올리브 이중성이다.

AdS/CFT 대응성

 이 부분의 본문은 AdS/CFT 대응성입니다.

AdS/CFT 대응성에 따라, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초대칭 양-밀스 이론은 5차원 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$와 4+1차원 반 더 시터르 공간 ${\displaystyle \operatorname {AdS} _{5}}$의 곱공간 ${\displaystyle \operatorname {AdS} _{5}\times \mathbb {S} ^{5}}$ 위에 존재하는 IIB종 초끈 이론과 사실상 같은 이론이라고 추측된다.

적분 가능성

${\displaystyle \operatorname {SU} (N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초대칭 양-밀스 이론에서, ${\displaystyle N\to \infty }$ 극한에서 ${\displaystyle g}$개의 고리(=끈 세계면의 종수)를 갖는 파인먼 도형의 확률 진폭은 ${\displaystyle N^{2-2g}}$에 비례하게 된다. 즉, 색깔의 수가 매우 클 경우, 오직 낮은 종수의 파인먼 도형만이 살아남게 된다.

이러한 극한에서, 양자장론의 국소적 연산자들은 일종의 스핀 사슬(영어: spin chain) 모형으로 나타내어질 수 있다.^[5]

역사

${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초대칭 양-밀스 이론은 1977년에 10차원 초대칭 양-밀스 이론의 차원 축소로 발견되었다.^{[6]:86–88, §5[7]:270, §3}

같은 해에, 양-밀스 이론의 S-이중성은 클라우스 몬토넨(핀란드어: Claus Montonen)과 데이비드 이언 올리브(영어: David Ian Olive)가 1977년에 제시하였다.^[8] 몬토넨과 올리브의 원래 가설은 초대칭을 포함하지 않았는데, 이후 1979년에 휴 오즈번(영어: Hugh Osborn)이 이 가설이 성립하려면 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ 초대칭이 필요함을 지적하였다.^[9][10]:§1

참고 문헌

1. Duff, Michael J. (1996년 9월 10일). “Electric/magnetic duality and its stringy origins”. 《International Journal of Modern Physics A》 11 (22). arXiv:hep-th/9509106. Bibcode:1996IJMPA..11.4031D. doi:10.1142/S0217751X96001899. 
2. Olive, David Ian (1996년 1월). “Exact electromagnetic Duality”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 45 (1): 88–102. arXiv:hep-th/9508089. Bibcode:1996NuPhS..45...88O. doi:10.1016/0920-5632(95)00618-4.  재판 Olive, David Ian (1996년 3월). “Exact electromagnetic Duality”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 46 (1–3): 1–15. Bibcode:1996NuPhS..46....1O. doi:10.1016/0920-5632(96)00002-3. 
3. Duff, Michael J. (1996년 9월 10일). “Electric–magnetic duality and its stringy origins”. 《International Journal of Modern Physics A》 11 (22): 4031–4050. arXiv:hep-th/9509106. Bibcode:1996IJMPA..11.4031D. doi:10.1142/S0217751X96001899. 
4. Polchinski, Joseph (1998). 《String Theory, Volume 2: Superstring theory and beyond》. Cambridge University Press. Bibcode:2005stth.book.....P. doi:10.2277/0521633044. ISBN 978-0521633048. 
5. Beisert, Niklas (2012). “Review of AdS/CFT integrability: an overview”. 《Letters In Mathematical Physics》 (영어) 99 (3). arXiv:1012.3982. Bibcode:2012LMaPh..99....3B. doi:10.1007/s11005-011-0529-2. 
6. Brink, Lars; Schwartz, John H.; Scherk, Joël (1977년 3월 28일). “Supersymmetric Yang-Mills theories”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 121: 77–92. doi:10.1016/0550-3213(77)90328-5. 
7. Gliozzi, Fernando; Olive, David I.; Scherk, Joël (1977년 4월 25일). “Supersymmetry, supergravity theories and the dual spinor model”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 122: 253–290. doi:10.1016/0550-3213(77)90206-1. 
8. Montonen, Claus; David Olive (1977년 12월 5일). “Magnetic monopoles as gauge particles?”. 《Physics Letters B》 72 (1): 117–120. Bibcode:1977PhLB...72..117M. doi:10.1016/0370-2693(77)90076-4.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
9. Osborn, Hugh (1979년 5월 21일). “Topological charges for N=4 supersymmetric gauge theories and monopoles of spin 1”. 《Physics Letters B》 (영어) 83 (3–4): 321–326. doi:10.1016/0370-2693(79)91118-3. 
10. Di Vecchia, Paolo (1998년 2월). “Duality in N=2, 4 supersymmetric gauge theories” (영어). arXiv:hep-th/9803026. Bibcode:1998hep.th....3026D. 

• Seiberg, Nathan (1998년 7월). “Notes on theories with 16 supercharges”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 (영어) 67 (1–3): 158-171. arXiv:hep-th/9705117. Bibcode:1998NuPhS..67..158S. doi:10.1016/S0920-5632(98)00128-5. 
• Gauntlett, Jerome P. (1998년 2월). “Duality and supersymmetric monopoles”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 (영어) 61 (1–2): 137–148. arXiv:hep-th/9705025. Bibcode:1998NuPhS..61..137G. doi:10.1016/S0920-5632(97)00526-4. 

같이 보기

• S-이중성
• 자이베르그-위튼 이론
• 초끈 이론
• AdS/CFT 대응성