Taisyklingasis 257-kampis

Kompiuteriu sukurtas taisyklingojo 257-kampio vaizdas.

Žvaigždė, gaunama 257-kampio kampus sujungus su jo centru.

Taisyklingasis 257-kampis – taisyklingasis daugiakampis turintis 257 kampus. Žmogaus akiai ši figūra gana mažai kuo skiriasi nuo apskritimo, tačiau kampus sujungus su centru gauta „žvaigždė“ vis dar matoma. Daugiakampis reikšmingas tuo, jog jį galima nubraižyti skriestuvu ir liniuote.

Geometrinis pagrindimas

257 yra pirminis Fermio skaičius:

${\displaystyle 257=2^{2^{3}}+1}$.

Todėl reikšmės ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{257}}}$ ir ${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{257}}}$ (128 laipsnių kampo funkcijos) yra algebriniai skaičiai.

Taigi žinant algoritmą tokią figūrą iš esmės galima nubraižyti skriestuvu bei liniuote.

Atradimo istorija

Nors jau 1801 m. Karlas Frydrichas Gausas žinojo jog figūra nubraižoma skriestuvu ir liniuote, pirmasis išsamus aprašymas kaip tai padaryti buvo paskelbtas Magnus Georg Paucker (1822)^[1] ir Friedrich Julius Richelot (1832).^[2]. Sprendžiant užduotį pagal šiuos straipsnius būtina nubraižyti 150 pagalbinių apskritimų. Žinomi ir alternatyvūs braižymo būdai.

Savybės

Šios figūros kampų suma lygi 91800°, plotas

${\displaystyle A={\frac {257}{4}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{257}}\approx 5255.751t^{2}.}$

kur t – kraštinės ilgis.

Vidinis kampas ${\displaystyle {\frac {257-2}{257}}\cdot 180^{\circ }\approx 178{,}6^{\circ }}$

Centrinis kampas ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{257}}\approx 1{,}4^{\circ }}$.

Šaltiniai

1. Magnus Georg Paucker (1822). „Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis“. Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (vokiečių). 2: 160–219.
2. Friedrich Julius Richelot (1832). „De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata“. Journal für die reine und angewandte Mathematik (lotynų). 9: 1–26, 146–161, 209–230, 337–358. doi:10.1515/crll.1832.9.337.