Вртежен појдовен систем

Вртежен појдовен систем е посебен случај неинерцијален појдовен систем кој ротира во однос на инерцијален појдовен систем. Секојдневен пример за вртежен појдовен систем е површината на Земјата. (Во овој напис се разгледуваат само системи кои ротираат околу фиксна оска. За поопшти ротации, видете Ојлерови агли.)

Фиктивни сили

Главна статија: Фиктивни сили

Сите неинерцијални појдовни системи покажуваат фиктивни сили; вртежните појдовни системи се одликуваат со три:^[1]

• центрифугална сила,
• Кориолисова сила,

и за нерамномерни вртежни појдовни системи,

• Ојлерови сили.

Научниците во вртечка кутија можат да ги измерат брзината и насоката на ротацијата со помош на овие фиктивни сили. На пример, Леон Фуко бил во можност да ја покаже Кориолисовата сила која е резултат на Земјината ротација, користејќи го Фуковото нишало. Ако Земјата ротирала многу побрзо, овие фиктивни сили би можеле да ги почувствуваат и луѓето, како да се на рингишпил.

Поврзаност меѓу вртежен и стационарен систем

Следното е деривација на формулите за забрзување и фиктивните сили на вртежен систем. Започнува со врската помеѓу координатите на честичката во вртежниот систем и нејзините координати во инерцијален (стационарен) систем. Потоа, со земање на временски деривати, се добиваат формули кои ја поврзуваат брзината на честичката од двата системи и забрзувањето во однос на секој систем. Користејќи ги овие забрзувања, фиктивните сили се идентификуваат со споредување на вториот Њутнов закон, формулиран во двата различни системи.

Поврзаност меѓу позициите во двата системи

За да ги изведат овие фиктивни сили, корисно е да може да се претвори меѓу коорирдинатите ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$ на вртежниот појдовен систем и координатите ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ на стационарниот појдовен систем со исто потекло. Ако ротацијата околу ${\displaystyle z}$ оската е со постојана аголна брзина ${\displaystyle \Omega }$, или ${\displaystyle \theta (t){=}\Omega t}$, а двата појдовни системи се софпаѓаат со времето ${\displaystyle t=0}$,тогаш трансформацијата од вртежните координати во стационарните координати може да се запише:

${\displaystyle x=x'\cos \left(\theta (t)\right)-y'\sin \left(\theta (t)\right)}$

${\displaystyle y=x'\sin \left(\theta (t)\right)+y'\cos \left(\theta (t)\right)}$

додека обратната трасформација ќе биде:

${\displaystyle x'=x\cos \left(-\theta (t)\right)-y\sin \left(-\theta (t)\right)}$

${\displaystyle y'=x\sin \left(-\theta (t)\right)+y\cos \left(-\theta (t)\right)}$

Овој резултат може да се добие од вртежна матрица.

Воведените единечни вектори ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ претставуваат стандардни, единечни, базични вектори во родационен систем. Временските деривати на овие единечни вектори се наоѓаат следни. Се претпоставува дека рамките се израмнети на t = 0 и z-оската е оска на вртење. Потоа за вртење спротивно од стрелките на часовникот преку агол Ωt:

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))}$

Каде компонентите (x, y) се изразени во стационарен систем. Исто така,

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=(-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))\ .}$

На овој начин временските деривати на овие вектори, кои ротираат без промена на големината, ќе бидат

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}(t)=\Omega (-\sin \theta (t),\ \cos \theta (t))=\Omega {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}\ ;}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}(t)=\Omega (-\cos \theta (t),\ -\sin \theta (t))=-\Omega {\hat {\boldsymbol {\imath }}}\ ,}$

каде ${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\theta (t)}$. Овој резултат е ист со векторскиот производ со вртежен вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ во правец со z-оска на вртење ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=(0,\ 0,\ \Omega )}$, имено,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times }}{\hat {\boldsymbol {u}}}\ ,}$

каде ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$ е или ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}$ или ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}$.

Временски деривати во два системи

Воведените единечни вектори ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\imath }}},\ {\hat {\boldsymbol {\jmath }}},\ {\hat {\boldsymbol {k}}}}$ претставуваат стандардни, единечни, базни вектори во вртежен систем. Како што ротираат, тие ќе се нормализираат. Ако ротираат со брзина од ${\displaystyle \Omega }$ со оска на вртење ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ тогаш секој единечен вектор ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}$ од вртежниот координатен систем се придржува до следната равенка:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {u}}}={\boldsymbol {\Omega \times {\hat {u}}}}\ .}$

Тогаш, ако имавме векторска функција ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$,

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)=f_{x}(t){\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{y}(t){\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{z}(t){\hat {\boldsymbol {k}}}\ ,}$

и ако го испитаме првиот дериват(користејќи го правилото за производ на диференција):^[2][3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}&={\frac {\mathrm {d} f_{x}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\imath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{x}+{\frac {\mathrm {d} f_{y}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\jmath }}}}{\mathrm {d} t}}f_{y}+{\frac {\mathrm {d} f_{z}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {k}}}}{\mathrm {d} t}}f_{z}\\&={\frac {\mathrm {d} f_{x}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{y}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+{\frac {\mathrm {d} f_{z}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\boldsymbol {k}}}+\left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \left(f_{x}{\hat {\boldsymbol {\imath }}}+f_{y}{\hat {\boldsymbol {\jmath }}}+f_{z}{\hat {\boldsymbol {k}}}\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{r}+{\boldsymbol {\Omega \times f}}(t)\end{aligned}}}$

каде што ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {f}}}{\mathrm {d} t}}\right)_{r}}$ е стапка на промени ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ што е забележана во вртежниот координатен систем. На кратко, диференцијата се изразува како:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {f}}=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{r}+{\boldsymbol {\Omega \times }}\right]{\boldsymbol {f}}\ .}$

Овој резултат е познат и како Транспортна теорема во аналитичка динамика и понекогаш се нарекува и Основна кинематичка равенка.^[4]

Поврзаност меѓу брзините на два системи

Брзината на објектот е временски дериват на позицијата на објектот, или

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}$

Временскиот дериват со позиција ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$ во вртежен појдовен систем има две компоненти,една од експлицитната временска зависност поради движењето на самата честичка, а друга од самата ротација на рамката. Применувајќи го резултатот од претходната поделба на поместувањето ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$, the брзините во двата појдовни системи се поврзани со равенката

${\displaystyle \mathbf {v_{i}} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,}$

каде индексот i значи инерцијален појдовен систем и индексот r значи вртежен појдовен систем.

Поврзаност меѓу забрзувањата во двата системи

Забрзувањето е втор временски дериват на позиција или прв временски дериват на брзина

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {i} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {i} }=\left[\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \right]\left[\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {r} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right]\ ,}$

каде индексот i значи инерцијален појдовен систем. Извршувањето на диференцијациите и повторното уредување на некои термини го дава забрзувањето во вртежниот појдовен систем

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }=\mathbf {a} _{\mathrm {i} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

каде ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\right)_{\mathrm {r} }}$ е очиглдно забрзување во вртежен појдовен систем, а терминот ${\displaystyle -{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$ претставува центрифугално забрзување, и терминот ${\displaystyle -2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$ е Кориолисово забрзување. Последниот термин (${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$) е Ојлерово забрзување и е нула во рамномерен вртечки систем.

Вториот Њутнов Закон во двата системи

Кога изрезеното забрзување ќе се помножи со масата на честичката,трите дополнителни изрази од десната страна се резултат на фиктивните сили во вртежен појдовен систем, односно, очигледните сили се резултат на неинерцијален појдовен систем, повеќе од било која физичка интеракција помеѓу тела.

Користејќи го Вториот Њутнов закон за движење ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$, добиваме:^{[1][2][3][5][6]}

• Кориолисова сила

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {r} }}$

• Центрифугална сила

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} )}$

• и Ојлерова сила

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$

каде ${\displaystyle m}$ е масата на објектот каде дејствуваат фиктивните сили. Забележете дека сите три сили изчезуваат кога системот не ротира, односно кога ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=0\ .}$

Всушност, инерцијалното забрзување ${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$ се должи на впечатливите надворешни сили ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }}$ со кои може да се определи вкупната физичка сила во инерцијалниот (невртечки) систем (на пример, силите од физичките инеракции како електромагнетни сили) користејќи го Вториот Њутнов Закон во инерцијален систем:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {imp} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {i} }}$

тогаш Њутновиот закон во вртежен систем ќе бдие

${\displaystyle \mathbf {F_{r}} =\mathbf {F} _{\mathrm {imp} }+\mathbf {F} _{\mathrm {centrifugal} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=m\mathbf {a_{r}} \ .}$

Со други зборови, да важат Законите за движење во вртежен систем:^[6][7][8]

Третирај ги фиктивните сили како реални сили, и преправај се дека си во инерцијален систем,

—Луис Н. хенд, Џенет Д. Финч Аналитичка механика, p. 267

Очигледно, вртежен појдовен систем е случај на неинерцијален систем. Така на честичката, вистинската сила ќе дејствува врз основа на фиктивната сила...Според вториот Њутнов Закон, честичката ќе се движи ако вкупната сила дејствува врз неа како сума од реалната и фиктивна сила.

—ХС Ханс & СП Пуи: Механика; p. 341

Оваа равенка ја има токму формата на вториот Њутнов Закон, освен, покрај F, збирот на сите сили идентификувани во инерцијален систем,постои дополнител израз на десната страна...Ова значи дека можеме да продолжиме да го користиме вториот Њутнов Закон во неинерцијален систем под услов да се согласиме дека во неинерцијален систем мораме да додадеме дополнителен израз, сличен на сила, кој често се нарекува инерцијална сила.

—Џон Р. Тејлор: Класична механика; p. 328

Центрифугална сила

Главна статија: Центрифугална сила (вртежен појдовен систем)

Во класичната механика, центрифугална сила е надворешна сила поврзана со ротација. Центрифугалната сила е една од т.н. псевдо-сили (познати како инерцијални сили), така се именувани бидејќи, за разлика од реалните сили,тие не потекнуваат од интеракција со други тела кои се наоѓаат во околинта на честичката врз која делуваат. Наместо тоа, центрифугалната сила потекнува од ротацијата на појдовниот систем во кој се прават опсервации.^{[9][10][11][12][13][14]}

Кориолисов ефект

Главна статија: Кориолисов ефект

Figure 1: Во инерцијалниот појдовен систем (горниот дел од сликата), црниот објект се движи по права линија. Меѓутоа, набљудувачот (црваното топче), кое стои во вртежниот појдовен систем (долниот дел од сликата)го гледа објектот како се движи по крива линија.

Математичкиот израз за Кориолисова сила го поставил францускиот научник Гапар Густав Кориолис во 1835 година, во врска со хидродинамика, и во плимните равенки на Пјер Симон Лаплас во 1778. На почетокот на 20-от Век, изразот Кориолисови сили почнал да се употребува и во метеорологија.

Можеби најчесто сретнуван вртечки појдовен систем е Земјата. Подвижните објекти на површината на Земјата ја чувствуваат Кориолисовата сила и се поместуваат надесно во северната полутопка, и налево во јужната. Движењата на воздухот во атмосферата и водата во океанот се значајни примери за ова однесување: наместо да течат директно од подрачја со висок до низок притисок како што би течеле на планета која не ротира, ветровите и струите ќе течат надесно од насоката, северно од екваторот, и налево од насоката, јужно од екваторот. Овој ефект е причината за вртежите на големите циклони (види Кориолисов ефект во метеорологија).

Ојлерови сили

Главна статија: Ојлерови сили

Во класичната механика, Ојлеровото забрзување (наречено по Леонард Ојлер), исто познато како азимутско забрзување^[15] или нормално забрзување^[16] е забрзување што се појавува во нерамномерно вртечки појдовен систем, се користи за анализа на движењето и има варијација во аголната брзина на оската на појдовниот систем. Овој напис е ограничен на појдовен систем кој ротира околу фиксна оска.

Ојлеровата сила е фиктивна сила на тело кое е поврзано со Ојлеровото забрзување F  = ma, каде a е Ојлерово забрзување и m е масата на телото.^[17][18]

Употреба во магнетна резонанца

Погодно е да се разгледа магнетна резонанца во систем кој ротира на Лармарова честота на вртежите. Ова е илустрирано во анимацијата подолу. Истовремено може да се користи и приближувањето на вртечки бран.

Animation showing the rotating frame. The red arrow is a spin in the Bloch sphere which precesses in the laboratory frame due to a static magnetic field. In the rotating frame the spin remains still until a resonantly oscillating magnetic field drives magnetic resonance.

Поврзано

• Апсолутно вртење
• Центрифугална сила
• Механика на рамнинско движење на честичка
• Кориолисова сила
• Неинерцијален појдовен систем
• Замислена сила
• Инерцијален појдовен систем

Наводи

1. Vladimir Igorević Arnolʹd (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2. изд.). Springer. стр. 130. ISBN 978-0-387-96890-2.
2. Cornelius Lanczos (1986). The Variational Principles of Mechanics (Reprint of Fourth Edition of 1970. изд.). Dover Publications. Chapter 4, §5. ISBN 0-486-65067-7.
3. John R Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. стр. 342. ISBN 1-891389-22-X.
4. Corless, Martin. „Kinematics“ (PDF). Aeromechanics I Course Notes. Purdue University. стр. 213. Архивирано од изворникот на 2012-10-24. Посетено на 18 July 2011.
5. LD Landau & LM Lifshitz (1976). Mechanics (Third. изд.). стр. 128. ISBN 978-0-7506-2896-9.
6. Louis N. Hand; Janet D. Finch (1998). Analytical Mechanics. Cambridge University Press. стр. 267. ISBN 0-521-57572-9.
7. HS Hans & SP Pui (2003). Mechanics. Tata McGraw-Hill. стр. 341. ISBN 0-07-047360-9.
8. John R Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. стр. 328. ISBN 1-891389-22-X.
9. Robert Resnick & David Halliday (1966). Physics. Wiley. стр. 121. ISBN 0-471-34524-5.
10. Jerrold E. Marsden; Tudor S. Ratiu (1999). Introduction to Mechanics and Symmetry: A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems. Springer. стр. 251. ISBN 0-387-98643-X.
11. John Robert Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. стр. 343. ISBN 1-891389-22-X.
12. Stephen T. Thornton & Jerry B. Marion (2004). Classical Dynamics of Particles and Systems (5. изд.). Belmont CA: Brook/Cole. Chapter 10. ISBN 0-534-40896-6.
13. David McNaughton. „Centrifugal and Coriolis Effects“. Посетено на 2008-05-18.
14. David P. Stern. „Frames of reference: The centrifugal force“. Посетено на 2008-10-26.
15. David Morin (2008). Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. стр. 469. ISBN 0-521-87622-2.
16. Grant R. Fowles & George L. Cassiday (1999). Analytical Mechanics (6. изд.). Harcourt College Publishers. стр. 178.
17. Richard H Battin (1999). An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics. Reston, VA: American Institute of Aeronautics and Astronautics. стр. 102. ISBN 1-56347-342-9.
18. Jerrold E. Marsden; Tudor S. Ratiu (1999). Introduction to Mechanics and Symmetry: A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems. Springer. стр. 251. ISBN 0-387-98643-X.

Надворешни врски

• Animation clip showing scenes as viewed from both an inertial frame and a rotating frame of reference, visualizing the Coriolis and centrifugal forces.