Ердеш-Морделово неравенство

Во Евклидовата геометрија, Ердеш-Морделовото неравенство вели дека за секој триаголник ${\displaystyle ABC}$ и точка ${\displaystyle P}$ во неговата внатрешност, збирот на растојанијата од ${\displaystyle P}$ до страните на триаголникот е помал или еднаков на половината од збирот на растојанијата од P до темињата на триаголникот. Ова неравенство е именувано по Пал Ердеш и Луис Мордел. Ердеш (1935) harvtxt error: no target: CITEREFЕрдеш1935 (help) го поставил проблемот, а доказот го дале Мордел и Д. Ф. Бароу (1935) две години подоцна. Но, ова решение не било многу елементарно. Последователни поедноставни докази биле дадени од Казариноф (1957) harvtxt error: no target: CITEREFКазариноф1957 (help), Банкоф (1958) harvtxt error: no target: CITEREFБанкоф1958 (help) и Алсина & Нелсен (2007) harvtxt error: no target: CITEREFАлсинаНелсен2007 (help).

Неравенството на Бароу е зајакната верзија на неравенството на Ердеш-Мордел во која растојанијата од ${\displaystyle P}$ до страните се заменети со растојанијата од ${\displaystyle P}$ до точките во кои симетралите на аглите на ∠APB, ∠BPC и ∠CPA ги сечат страните. Иако заменетите растојанија се подолги, нивниот збир сепак е помал или еднаков на половина од збирот на растојанијата до темињата.

Формулација

Ердеш-Морделово неравенство (Erdős–Mordell)

Нека ${\displaystyle P}$ е произволна точка во даден триаголник ${\displaystyle ABC}$, и нека ${\displaystyle PL}$, ${\displaystyle PM}$ и ${\displaystyle PN}$ се нормалите од ${\displaystyle P}$ кон страните на триаголникот. (Ако триаголникот е тапоаголен, една од овие нормали може да пресече друга страна на триаголникот и да заврши на потпорната права која содржи една од страните.) Тогаш неравенството гласи

${\displaystyle {\overline {PA}}+{\overline {PB}}+{\overline {PC}}\geqslant 2({\overline {PL}}+{\overline {PM}}+{\overline {PN}})}$

Доказ

Нека страните на ${\displaystyle ABC}$ се: ${\displaystyle a}$ - наспроти темето ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle b}$ - наспроти темето ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle c}$ - наспроти темето ${\displaystyle C.}$ Исто така, нека ${\displaystyle {\overline {PA}}=p,{\overline {PB}}=q,{\overline {PC}}=r;d(P,BC)=x,d(P,CA)=y,d(P,AB)=z.}$ Прво, докажуваме дека

${\displaystyle cr\geq ax+by.}$

што е еквивалентно на

${\displaystyle {\frac {c(r+z)}{2}}\geq {\frac {ax+by+cz}{2}}.}$

Десната страна е еднаква на плоштината на триаголникот ${\displaystyle ABC.}$ На левата страна збирот ${\displaystyle r+z}$ не е помал од висината на триаголникот. Следствено, левата страна не може да биде помала од десната страна. Сега, ја пресликуваме точката ${\displaystyle P}$ симетрично во однос на симетралата на аголот при темето ${\displaystyle C.}$ Гледаме дека ${\displaystyle cr\geq ay+bx}$ за сликата (рефлексијата) на ${\displaystyle P.}$ Слично се покажува дека ${\displaystyle bq\geqslant az+cx}$ и ${\displaystyle ap\geqslant bz+cy.}$ Ги решаваме овие неравенки по ${\displaystyle r,q}$ и ${\displaystyle p:}$

${\displaystyle r\geq (a/c)y+(b/c)x,}$

${\displaystyle q\geq (a/b)z+(c/b)x,}$

${\displaystyle p\geq (b/a)z+(c/a)y.}$

Се собираат трите неравенки и добиваме

${\displaystyle p+q+r\geq \left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)x+\left({\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)y+\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)z.}$

Бидејќи збирот на позитивен број и неговиот реципрочен број е најмалку 2, заради неравенството помеѓу аритметичката и геометриската средина, доказот е завршен. Еднаквост важи само за рамностран триаголник, каде што ${\displaystyle P}$ е неговиот центар.

Појака верзија

Нека ${\displaystyle ABC}$ е триаголник впишан во кружница ${\displaystyle (O)}$ и ${\displaystyle P}$ е точка во триаголникот ${\displaystyle ABC.}$ Нека ${\displaystyle D,E,F}$ се ортогоналните проекции на ${\displaystyle P}$ врз ${\displaystyle BC,CA,AB}$ редоследно. Нека ${\displaystyle M,N,Q}$ се ортогоналните проекции на ${\displaystyle P}$ врз тангентите на ${\displaystyle (O)}$ во ${\displaystyle A,B,C}$ соодветно. Tогаш:

${\displaystyle {\overline {PM}}+{\overline {PN}}+{\overline {PQ}}\geqslant 2({\overline {PD}}+{\overline {PE}}+{\overline {PF}})}$

Eднаквост важи ако и само ако триаголникот ${\displaystyle ABC}$ е рамностран (Dao, Nguyen & Pham 2016 harvnb error: no target: CITEREFDaoNguyenPham2016 (help) ; Marinescu & Monea 2017 harvnb error: no target: CITEREFMarinescuMonea2017 (help) )

Обопштувањe

Нека ${\displaystyle A_{1}A_{2}...A_{n}}$ е конвексен многуаголник и ${\displaystyle P}$ е точка од внатрешноста на ${\displaystyle A_{1}A_{2}...A_{n}}$. Нека ${\displaystyle R_{i}}$ е растојанието помеѓу ${\displaystyle P}$ и темето ${\displaystyle A_{i}}$, ${\displaystyle r_{i}}$ е растојанието од ${\displaystyle P}$ до страната ${\displaystyle A_{i}A_{i+1}}$, ${\displaystyle w_{i}}$ е отсечката на симетралата на аголот ${\displaystyle A_{i}PA_{i+1}}$ од ${\displaystyle P}$ до нејзиниот пресек со страната ${\displaystyle A_{i}A_{i+1}}$, тогаш (Ленард 1961 harv error: no target: CITEREFЛенард1961 (help)):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}w_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}r_{i}}$

Во апсолутна геометрија

Во апсолутната геометрија, Ердеш-Морделовото неравенство е еквивалентно, што е докажано во Pambuccian (2008) harvtxt error: no target: CITEREFPambuccian2008 (help), на ставот дека збирот на аглите во триаголник е помал или еднаков на два прави агли.

Поврзано

• Список на неравенства за триаголници

Наводи

• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), „A visual proof of the Erdős-Mordell inequality“, Forum Geometricorum, 7: 99–102, Архивирано од изворникот на 2020-07-16, Посетено на 2024-06-26.
• Bankoff, Leon (1958), „An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem“, American Mathematical Monthly, 65 (7): 521, doi:10.2307/2308580, JSTOR 2308580.
• Dao, Thanh Oai; Nguyen, Tien Dung; Pham, Ngoc Mai (2016), „A strengthened version of the Erdős-Mordell inequality“ (PDF), Forum Geometricorum, 16: 317–321, MR 3556993, Архивирано од изворникот (PDF) на 2018-04-24, Посетено на 2024-06-26.
• Erdős, Paul (1935), „Problem 3740“, American Mathematical Monthly, 42: 396, doi:10.2307/2301373, JSTOR 2301373.
• Kazarinoff, D. K. (1957), „A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles“, Michigan Mathematical Journal, 4 (2): 97–98, doi:10.1307/mmj/1028988998.
• Lenhard, Hans-Christof (1961), „Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone“, Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, 12: 311–314, doi:10.1007/BF01650566, MR 0133060.
• Marinescu, Dan Ștefan; Monea, Mihai (2017), „About a strengthened version of the Erdős-Mordell inequality“ (PDF), Forum Geometricorum, 17: 197–202, Архивирано од изворникот (PDF) на 2018-04-24, Посетено на 2024-06-26.
• Mordell, L. J.; Barrow, D. F. (1937), „Solution to 3740“, American Mathematical Monthly, 44: 252–254, doi:10.2307/2300713, JSTOR 2300713.
• Pambuccian, Victor (2008), „The Erdős-Mordell inequality is equivalent to non-positive curvature“, Journal of Geometry, 88 (1–2): 134–139, doi:10.1007/s00022-007-1961-4.

Надворешни врски

• „Erdős-Mordell Theorem“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• Alexander Bogomolny, "Erdös-Mordell Inequality", from Cut-the-Knot.