Златен агол

Златниот агол е аголот што го зафаќа помалиот (црвен) лак кога два лака што сочинуваат круг се во златен однос

Во геометријата, златниот агол е помалиот од двата агли создадени со делење на обемот на кругот според златниот пресек, односно на два лака така што односот на должината на помалиот лак со должината на поголемиот е ист со односот на должината на поголемиот лак со целосниот обем на кругот.

Алгебарски, нека a+b е обемот на кругот, поделен на подолг лак со должина a и помал лак со должина b така што:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

Тогаш златен агол е аголот што го образува помалиот лак со должина b. Изнесува приближно 137,5077640500378546463487. . . °  A096627 или во радијани 2.39996322972865332. . .  A131988 .

Името доаѓа од врската на златниот агол со златниот пресек φ; точната вредност на златниот агол е:

${\displaystyle 360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ degrees}}}$

или

${\displaystyle 2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ radians}},}$

каде што еквиваленциите произлегуваат од познатите алгебарски својства на златниот пресек.

Бидејќи неговиот синус и косинус се трансцендентални броеви, златниот агол не може да се конструира со линијар и шестар.^[1]

Изведување

Со горедадените услови, златниот пресек е еднаков на φ = a/b.

Нека ƒ е делот од обемот што го определува златниот агол, или еквивалентно, златниот агол поделен со аголната големина на кружницата.

${\displaystyle f={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{1+\varphi }}.}$

Но бидејќи

${\displaystyle {1+\varphi }=\varphi ^{2},}$

следува дека

${\displaystyle f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}}$

Ова е еквивалентно со исказот дека φ ² златните агли можат да се вклопат во круг.

Според тоа, делот од кругот што го зафаќа златниот агол е:

${\displaystyle f\approx 0.381966.\,}$

Па златниот агол g може приближно нумерички да се изрази во степени како:

${\displaystyle g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,}$

или во радијани како :

${\displaystyle g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,}$

Златен агол во природата

Аголот помеѓу последователните цветови кај некои цвеќиња е златен агол.

Анимација која симулира подредување на семките од сончоглед од централен меристем каде што следната семка е ориентирана еден златен агол подалеку од претходната семка.

Златниот агол игра значајна улога во теоријата на филотаксата; на пример, златниот агол е аголот што ги одвојува цветовите на сончогледот.^[2] Анализата на моделот покажува дека тој е многу чувствителен на аголот што ги одвојува поединечните примордии, при што аголот на Фибоначи му дава на парастихијата оптимална густина на пакување.^[3]

Математичкото моделирање на веродостојниот физички механизам за развој на цветови ја покажа шемата што произлегува спонтано од решението на нелинеарна парцијална диференцијална равенка на рамнина.^{[4] [5]}

Наводи

1. Freitas, Pedro J. (2021-01-25). „The Golden Angle is not Constructible“ (англиски). arXiv:2101.10818v1. Bibcode:2021arXiv210110818F.
2. Jennifer Chu (2011-01-12). „Here comes the sun“. MIT News. Посетено на 2016-04-22.
3. Ridley, J.N. (February 1982). „Packing efficiency in sunflower heads“. Mathematical Biosciences (англиски). 58 (1): 129–139. doi:10.1016/0025-5564(82)90056-6.
4. Pennybacker, Matthew; Newell, Alan C. (2013-06-13). „Phyllotaxis, Pushed Pattern-Forming Fronts, and Optimal Packing“ (PDF). Physical Review Letters (англиски). 110 (24): 248104. arXiv:1301.4190. Bibcode:2013PhRvL.110x8104P. doi:10.1103/PhysRevLett.110.248104. ISSN 0031-9007. PMID 25165965.
5. „Sunflowers and Fibonacci: Models of Efficiency“. ThatsMaths (англиски). 2014-06-05. Посетено на 2020-05-23.

Надворешни врски

• Златен агол на MathWorld