Златен ромб

Златen ромб

Златен ромб — ромб чии дијагонали се во златен сооднос:^[1]

${\displaystyle {D \over d}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1,618~034}$

Еквивалентно, тоа е Варињоновиот паралелограм образуван од средните точки на рабовите на златен правоаголник.^[1] Ромбови со овој облик образуваат лица (страни) на неколку значајни полиедри. Златниот ромб треба да се разликува од двата ромба на Пенроузовото поплочување, кои на други начини се поврзани со златниот сооднос, но имаат различен облик од обликот на златниот ромб.^[2]

Агли

(Видете ги основните својства на општиот ромб за својствата на аглите.)

Внатрешните суплементни агли на златниот ромб се:^[3]

• Остар агол: ${\displaystyle \alpha =2\arctan {1 \over \varphi }}$;

со користење на формулата за собирање аркус тангенс (види инверзни тригонометриски функции):

${\displaystyle \alpha =\arctan {{2 \over \varphi } \over {1-({1 \over \varphi })^{2}}}=\arctan {{2 \over \varphi } \over {1 \over \varphi }}=\arctan 2\approx 63,43495^{\circ }.}$

• Тап агол: ${\displaystyle \beta =2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2\approx 116,56505^{\circ },}$

што е и диедарски агол на додекаедарот.^[4]

Забелешка: „анегдотска“ еднаквост: ${\displaystyle \pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3~.}$

Раб и дијагонали

Со користење на паралелограмскиот закон (види ги основните својства на општиот ромб):

Должината на рабовите на златниот ромб изразена преку должината на дијагоналата ${\displaystyle d}$ е:

• ${\displaystyle a={1 \over 2}{\sqrt {d^{2}+(\varphi d)^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}~d={{\sqrt {2+\varphi }} \over 2}~d={1 \over 4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}~d\approx 0,95106~d~.~}$ Оттука:

Дијагоналите на златниот ромб изразени преку должината на работ ${\displaystyle a}$ се:^[3]

• ${\displaystyle d={2a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{3-\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2-{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1,05146~a~.}$

• ${\displaystyle D={2\varphi a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{2+\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2+{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1,70130~a~.}$

Плоштина

• Со користење на формулата за плоштина на општиот ромб изразена преку неговите дијагонали ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle d}$:

Плоштината на златниот ромб изразена преку неговата дијагонала ${\displaystyle d}$ е:

${\displaystyle A={{(\varphi d)\cdot d} \over 2}={{\varphi } \over 2}~d^{2}={{1+{\sqrt {5}}} \over 4}~d^{2}\approx 0,80902~d^{2}~.}$

• Со користење на формулата за плоштина на општиот ромб изразена преку должината на неговиот раб ${\displaystyle a}$:

Плоштината на златниот ромб изразена преку должината на неговиот раб ${\displaystyle a}$ е: ^[3]

${\displaystyle A=(\sin(\arctan 2))~a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0,89443~a^{2}~.}$

Забелешка: ${\displaystyle \alpha +\beta =\pi }$, оттука: ${\displaystyle \sin \alpha =\sin \beta ~.}$

Како лица на полиедри

Неколку значајни полиедри имаат златни ромбови како нивни лица (страни). Тие ги вклучуваат двата златни ромбоедри (со по шест лица), билинскиот додекаедар (со 12 лица), ромбичниот икосаедар (со 20 лица), ромбичниот триаконтаедар (со 30 лица) и неконвексниот ромбичен хексесконтаедар (60 лица). Првите пет од нив се единствените конвексни полиедри со златни ромбични лица, но има бескрајно многу неконвексни полиедри со овој облик за сите нивни лица.^[5]

• 
  Остар златен ромбоедар
• 
  Тап златен ромбоедар
• 
  Билински додекаедар
• 
  Ромбичен икосаедар
• 
  Ромбичен хексеконтаедар

Поврзано

• Златен триаголник

Наводи

1. Senechal, Marjorie (2006), „Donald and the golden rhombohedra“, Во Davis, Chandler; Ellers, Erich W. (уред.), The Coxeter Legacy, American Mathematical Society, Providence, RI, стр. 159–177, ISBN 0-8218-3722-2, MR 2209027
2. For instance, an incorrect identification between the golden rhombus and one of the Penrose rhombi can be found in Livio, Mario (2002), The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number, New York: Broadway Books, стр. 206
3. Ogawa, Tohru (January 1987), „Symmetry of three-dimensional quasicrystals“, Materials Science Forum, 22-24: 187–200, doi:10.4028/www.scientific.net/msf.22-24.187. See in particular table 1, p. 188.
4. Gevay, G. (June 1993), „Non-metallic quasicrystals: Hypothesis or reality?“, Phase Transitions, 44 (1–3): 47–50, Bibcode:1993PhaTr..44...47G, doi:10.1080/01411599308210255
5. Grünbaum, Branko (2010), „The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra“ (PDF), The Mathematical Intelligencer, 32 (4): 5–15, doi:10.1007/s00283-010-9138-7, MR 2747698, Архивирано од изворникот (PDF) на 2015-04-02.