Неравенство на браќата Маркови

Во математиката, марковото неравенство ― нееднаквост докажана во 1890-тите од браќата Андреј Марков и Владимир Марков, двајца руски математичари. Оваа нееднаквост го ограничува максимумот на дериватите на полиномот со интервал во однос на максимумот на полиномот.^[1] За k = 1 тоа го докажа Андреј Марков,^[2] и за k = 2,3, ... неговиот брат Владимир Марков.^[3]

Изјавата

Нека P е полином на степен ≤ n . Потоа, за сите негативни цели броеви ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}|P^{(k)}(x)|\leq {\frac {n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})\cdots (n^{2}-(k-1)^{2})}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}}\max _{-1\leq x\leq 1}|P(x)|.}$

Еднаквоста е постигната за Чебишовите полиноми од прв вид.

Поврзани неравенства

• Бернштајново неравенство (математичка анализа)
• Ремезово неравенство

Нанесување

Марковото неравенство се користи за да се добијат пониски граници во теоријата на сметачката сложеност преку таканаречениот „Полиномен метод“.

Наводи

1. Achiezer, N.I. (1992). Theory of approximation. Њујорк: Dover Publications, Inc.
2. Markov, A.A. (1890). „On a question by D. I. Mendeleev“. Zap. Imp. Akad. Nauk. St. Petersburg. 62: 1–24.
3. Markov, V.A. (1892). „О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке (On Functions of Least Deviation from Zero in a Given Interval)“. Appeared in German with a foreword by Sergei Bernstein as Markov, V.A. (1916). „Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen“. Math. Ann. 77: 213–258. doi:10.1007/bf01456902.