Полуобем

Полуобем (полупериметар) на еден многуаголник — половина на неговиот обем. Полуобемот обично се означува со буквата s (од анг. semiperimeter). Полуобемот се користи доста често во формули, особено кај триаголниците, па затоа има свое име (и страна).^[1]

Триаголник

Полуобем на триаголник со страни a, b и c е:

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Пример: Нека ΔABC е триаголник со страни a=2mm, b=2mm и c=1mm.

Полуобемот е:   ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(2{\text{mm}}+2{\text{mm}}+1{\text{mm}})={\tfrac {5}{2}}{\text{mm}}=2,5{\text{mm}}}$

Формули со полуобем на триаголник

Плоштината е: ${\displaystyle A=rs}$

Плоштината на еден триаголник се пресметува преку полуобемот со Херонова формула:

${\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}$.

Плоштината на еден триаголник е еднаква на производот на полупречникот r на неговата впишана кружница со полуобемот:

${\displaystyle A=rs}$.

Полупречникот r на впишаната кружница на еден триаголник е:

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}}$

Полупречникот R на опишаната кружница на еден триаголник е:

${\displaystyle 2R={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}}$

Основни особини

• Полуобем s е позитивен број. Физичка величина за полуобем е должина.
• Важат формулите ${\displaystyle s-a={\tfrac {1}{2}}(-a+b+c)}$   и   ${\displaystyle s-b={\tfrac {1}{2}}(a-b+c)}$   и   ${\displaystyle s-c={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)}$ .

Доказ за s-a (Аналогно се докажува декаа s-b и s-c):

${\displaystyle s-a={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)-a={\tfrac {1}{2}}(-a+b+c)}$.

• Полуобем s e поголем од секоја страна од триаголникот.

Доказ за s>a (Аналогно се докажува дека s>b и s>c):

Од неравенството на триаголник, збирот на кои било две страни на еден триаголник е поголем од третата страна, па следи

${\displaystyle b+c>a}$

${\displaystyle -a+b+c>0}$

${\displaystyle 2(s-a)>0}$

${\displaystyle s>a}$.

Полуобем и правоаголен триаголник

• Плоштина на правоаголен триаголник со катети a и b е:

${\displaystyle A=(s-a)(s-b)}$

• За правоаголен триаголник, полупречникот на надворешната кружница на хипотенузата е еднаква на полуобем.
• Полуобемот на правоаголен триаголник s=r+2R.

Други одлики на полуобемот

Во кој било триаголник, растојанието околу триаголникот од едно теме до точката на обратниот раб каде што допира надворешната кружница е полуобемот.

• Во кој било триаголник, должината од темето А до точката А' во која надворешната кружница ја допира страната а е полуобемот, односно ${\displaystyle s={\overline {AB}}+{\overline {BA'}}={\overline {AC}}+{\overline {CA'}}}$  . Аналогно важат равенките: ${\displaystyle s={\overline {BC}}+{\overline {CB'}}={\overline {BA}}+{\overline {AB'}}}$   и   ${\displaystyle s={\overline {CB}}+{\overline {BC'}}={\overline {CA}}+{\overline {AC'}}}$
• Права низ центарот на впишаната кружница на еден триаголник го преполовува периметарот на триаголникот ако и само ако ја преполовува плоштината на триаголникот.
• Во кој било триаголник T, периметарот на медијанлната триаголник на T е полуобемот на T.

Четириаголник

Полуобемот на четириаголник со страни a, b, c и d е

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}$.

Плоштината на еден тангентен четириаголник е еднаква на производот на полупречникот r на неговата впишана кружница со неговиот полуобем:

${\displaystyle A=rs}$.

Правилен многуаголник

Плоштината на испакнат правилен многуаголник е производ на неговиот полуобем и неговата апотема, т.е. отсечка од центарот на многуаголникот до средината на (која било) од неговите страни.

Литература

1. Weisstein, Eric W. "Semiperimeter." http://mathworld.wolfram.com/Semiperimeter.html

Поврзани теми

Херонова формула

Надворешни врски

• „Полуобем“ на википедија (англиски)
• „Полуобем“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• http://www.cut-the-knot.org/triangle/InExCircles.shtml (англиски)

• Портал: Геометрија