Стајн–Стрембергова теорема

Стајн–Стрембергова теорема или Стајн–Стрембергово неравенство е резултат во теоријата на мерките во врска со максималниот оператор Hardy–Littlewood. Резултатот е основен во проучувањето на проблемот на диференцијација на интегралите. Резултатот е именуван по математичарите Елијас Стајн и Јан-Улов Стремберг.

Изјава за теоремата

Нека λⁿ ја означува n-димензионалната мерка на Lebesgue на n -димензионалниот Евклидов простор Rⁿ и нека M го означува Харди-Литлвудовиот максимален оператор: за функција f : Rⁿ → R, Mf : Rⁿ → R е дефиниран со

${\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{\lambda ^{n}{\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}|f(y)|\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(y),}$

каде што B_r( x ) ја означува отворената топка со полупречник r со центарот x. Потоа, за секој p > 1, има постојана C_p > 0 такви што, за сите природни броеви n и функции f ∈ L^p ( Rⁿ ; R ),

${\displaystyle \|Mf\|_{L^{p}}\leq C_{p}\|f\|_{L^{p}}.}$

Општо, се вели дека максималниот оператор M е од силен тип (p, p) ако

${\displaystyle \|Mf\|_{L^{p}}\leq C_{p,n}\|f\|_{L^{p}}}$

за сите f ∈ L^p (R ⁿ; R). Така, Стајн–Стремберговата теорема е изјава дека Харди-Литлвудовиот максимален оператор е од силен тип (p , p) подеднакво во однос на димензијата n.

Наводи

• Stein, Elias M.; Strömberg, Jan-Olov (1983). „Behavior of maximal functions in Rⁿ for large n“. Ark. Mat. 21 (2): 259–269. doi:10.1007/BF02384314. MR727348
• Tišer, Jaroslav (1988). „Differentiation theorem for Gaussian measures on Hilbert space“. Trans. Amer. Math. Soc. 308 (2): 655–666. doi:10.2307/2001096. MR951621