ध्रुव-शून्य प्लॉट

पोल-शून्य प्लॉट

गणित, सिग्नल प्रोसेसिंग आणि कंट्रोल थिअरीमध्ये, ध्रुव-शून्य प्लॉट हे कॉम्प्लेक्स प्लेनमध्ये तर्कसंगत हस्तांतरण फंक्शनचे ग्राफिकल प्रतिनिधित्व आहे जे सिस्टमचे विशिष्ट गुणधर्म व्यक्त करण्यास मदत करते जसे की:

• स्थिरता
• कार्यकारण प्रणाली / कारणात्मक प्रणाली
• अभिसरण क्षेत्र (ROC)
• किमान टप्पा / किमान टप्पा नाही

ध्रुव-शून्य प्लॉट ध्रुवांच्या जटिल समतल भागामध्ये स्थान दर्शवितो आणि डायनॅमिक सिस्टमच्या हस्तांतरण कार्याचे शून्य, जसे की कंट्रोलर, कम्पेन्सेटर, सेन्सर, इक्वलाइझर, फिल्टर किंवा संप्रेषण चॅनेल. नियमानुसार, सिस्टीमचे ध्रुव प्लॉटमध्ये एक्स द्वारे दर्शवले जातात तर शून्य वर्तुळ किंवा ओ द्वारे सूचित केले जातात.

ध्रुव-शून्य प्लॉट एकतर सतत-वेळ (सी.टी) किंवा स्वतंत्र-टाइम (डी.टी) प्रणाली दर्शवू शकतो. सीटी प्रणालीसाठी, ज्या विमानात ध्रुव आणि शून्य दिसतात ते लॅपेस ट्रान्सफॉर्मचे विमान आहे. या संदर्भात, पॅरामीटर एस जटिल कोनीय वारंवारता दर्शविते, जे सी.टी हस्तांतरण कार्याचे डोमेन आहे. डी.टी प्रणालीसाठी, विमान हे झेड विमान आहे, जेथे झेड हे Z-ट्रान्सफॉर्मच्या डोमेनचे प्रतिनिधित्व करते.

सतत-वेळ प्रणाली

सतत-वेळ प्रणाली

सर्वसाधारणपणे, सतत-वेळ एलटीआय सिस्टमसाठी तर्कसंगत हस्तांतरण फंक्शनचे स्वरूप आहे:

जिठे

• ${\displaystyle B}$ and ${\displaystyle A}$ are polynomials in ${\displaystyle s}$,
• ${\displaystyle M}$ is the order of the numerator polynomial,
• ${\displaystyle b_{m}}$ is the m-th coefficient of the numerator polynomial,
• ${\displaystyle N}$ is the order of the denominator polynomial, and
• ${\displaystyle a_{n}}$ is the n-th coefficient of the denominator polynomial.

एकतर एम किंवा एन किंवा दोन्ही शून्य असू शकतात, परंतु वास्तविक प्रणालींमध्ये, हे असेच असावे ${\displaystyle M\leq N}$ ; अन्यथा नफा उच्च फ्रिक्वेन्सीवर अमर्यादित असेल.

ध्रुव आणि शून्य

• सिस्टीमचे शून्य हे अंश बहुपदीचे मूळ आहेत: $${\displaystyle s=\{\beta _{m}\mid m\in 1,\ldots M\}}$$असे की $${\displaystyle B(s)|_{s=\beta _{m}}=0}$$
• प्रणालीचे ध्रुव हे भाजक बहुपदीची मुळे आहेत: $${\displaystyle s=\{\alpha _{n}\mid n\in 1,\ldots N\}}$$असे की $${\displaystyle A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0.}$$

अभिसरणाचा प्रदेश

दिलेल्या सी.टी हस्तांतरण फंक्शनसाठी अभिसरण क्षेत्र (आर.ओ.सी) हा अर्ध-विमान किंवा अनुलंब पट्टी आहे, यापैकी कोणतेही ध्रुव नसतात. सर्वसाधारणपणे, आरओसी अद्वितीय नाही आणि कोणत्याही परिस्थितीत विशिष्ट आरओसी ही प्रणाली कार्यकारण किंवा विरोधी कार्यावर अवलंबून असते.

• जर आर.ओ सी मध्ये काल्पनिक अक्ष समाविष्ट असेल, तर सिस्टम बाउंड-इनपुट, बाउंड-आउटपुट (BIBO) स्थिर आहे.
• जर आरओसी सर्वात मोठ्या वास्तविक भागासह ध्रुवापासून उजवीकडे विस्तारत असेल (परंतु अनंतावर नाही), तर प्रणाली कार्यकारण आहे.
• जर आरओसी सर्वात लहान वास्तविक भागासह ध्रुवापासून डावीकडे पसरत असेल (परंतु नकारात्मक अनंततेवर नाही), तर प्रणाली विरोधी कार्यकारण आहे.

आर.ओ सी हे सहसा काल्पनिक अक्ष समाविष्ट करण्यासाठी निवडले जाते कारण बहुतेक व्यावहारिक प्रणालींमध्ये BIBO स्थिरता असणे महत्वाचे आहे.

उदाहरण

या प्रणालीमध्ये कोणतेही (सीमित) शून्य आणि दोन ध्रुव नाहीत:

आणि

ध्रुव-शून्य प्लॉट असेल:

लक्षात घ्या की हे दोन ध्रुव जटिल संयुग्म आहेत, जी प्रणालीचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या विभेदक समीकरणामध्ये वास्तविक-मूल्यांकित गुणांक असण्यासाठी आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती आहे.

ग्राफिंग कॅल्क्युलेटर (ग्राफिक्स कॅल्क्युलेटर किंवा ग्राफिक डिस्प्ले कॅल्क्युलेटर देखील) हा एक हँडहेल्ड संगणक आहे जो आलेख प्लॉट करण्यास, एकाचवेळी समीकरणे सोडविण्यास आणि व्हेरिएबल्ससह इतर कार्ये करण्यास सक्षम आहे. सर्वाधिक लोकप्रिय आलेख कॅल्क्युलेटर प्रोग्राम करण्यायोग्य कॅल्क्युलेटर आहेत, जे वापरकर्त्याला विशेषतः वैज्ञानिक, अभियांत्रिकी किंवा शैक्षणिक अनुप्रयोगांसाठी सानुकूलित प्रोग्राम तयार करण्यास अनुमती देतात. त्यांच्याकडे मोठ्या स्क्रीन आहेत ज्या मजकूर आणि गणनाच्या अनेक ओळी प्रदर्शित करतात.

लक्षात घ्या की हे दोन ध्रुव जटिल संयुग्म आहेत, जी प्रणालीचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या विभेदक समीकरणामध्ये वास्तविक-मूल्यांकित गुणांक असण्यासाठी आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती आहे.

लक्षात घ्या की हे दोन ध्रुव जटिल संयुग्म आहेत, जी प्रणालीचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या विभेदक समीकरणामध्ये वास्तविक-मूल्यांकित गुणांक असण्यासाठी आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती आहे.