Segi tiga sudut tirus dan cakah

Segi tiga tirus ialah segi tiga dengan tiga sudut tirus (kurang daripada 90°). Segi tiga cakah pula ialah segi tiga dengan satu sudut cakah (lebih daripada 90°) dan dua sudut tirus. Memandangkan sudut segi tiga mesti berjumlah 180° dalam geometri Euclid, tiada segi tiga Euclid boleh mempunyai lebih daripada satu sudut cakah.

Segi tiga tirus dan cakah ialah dua jenis segi tiga serong yang berbeza — segi tiga yang bukan bersudut tegak kerana ia tidak mempunyai sudut 90°.

Tegak	Cakah	Tirus
	${\displaystyle \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}}$
	Serong

Ciri

Dalam semua segi tiga, sentroid (persilangan median), setiap satunya menghubungkan bucu dengan titik tengah sisi bertentangan — dan pusat dalaman — pusat suatu bulatan terbayang dalaman bertangen kepada ketiga-tiga sisi — berada di bahagian dalam segi tiga itu. Walau bagaimanapun, sementara pusat pusat orto dan pusat lilitan berada di bahagian dalam segi tiga tirus, ia berada di luar bagi segi tiga cakah.

Pusat orto ialah titik persilangan bagi tiga altitud segi tiga, yang setiap satunya menghubungkan satu sisi dengan bucu bertentangan secara berserenjang. Dalam kes segi tiga tirus, ketiga-tiga segmen ini terletak sepenuhnya di bahagian dalam segi tiga, dan oleh itu ia bersilang di bahagian dalam. Tetapi untuk segi tiga cakah, ketinggian dari dua sudut tirus hanya bersilang ekstensi sisi bertentangan. Ketinggian ini jatuh sepenuhnya di luar segi tiga, mengakibatkan persilangan antara satu sama lain (dan seterusnya dengan ketinggian lanjutan dari bucu bersudut cakah) berlaku di bahagian luar segi tiga.

Begitu juga, pusat lilitan segi tiga — persilangan pembahagi dua serenjang tiga sisi, yang merupakan pusat bulatan yang melalui ketiga-tiga bucu — jatuh di dalam segi tiga tirus tetapi di luar segi tiga cakah.

Segi tiga sudut tepat berada di pertengahan: kedua-dua pusat lilitan dan pusat ortonya terletak pada sempadannya.

Dalam mana-mana segi tiga, mana-mana dua ukuran sudut A dan B bertentangan sisi a dan b masing-masing berkaitan mengikut^{[1]:p. 264}

${\displaystyle A>B\quad {\text{jika dan hanya jika}}\quad a>b.}$

Ini menunjukkan bahawa sisi terpanjang dalam segi tiga cakah ialah sisi yang bertentangan dengan bucu bersudut cakah.

Segi tiga tirus mempunyai tiga segi empat sama terap dalam, setiap satu dengan satu sisi bertepatan dengan bahagian sisi segi tiga dan dua bucu lagi segi empat itu pada baki dua sisi segi tiga itu. (Dalam segi tiga tepat, dua daripada ini digabungkan ke dalam segi empat sama, jadi hanya terdapat dua segi empat sama terap dalam yang berbeza.) Walau bagaimanapun, segi tiga cakah hanya mempunyai satu segi empat sama terap dalam, salah satu sisinya bertepatan dengan bahagian sisi terpanjang segi tiga itu.^{[2]:p. 115}

Semua segi tiga dengan garis Euler yang selari dengan satu sisi adalah tirus.^[3] CIri ini dipegang untuk sebelah BC jika dan hanya jika ${\displaystyle (\tan B)(\tan C)=3.}$

Contoh

Segi tiga khas

Segi tiga Calabi, yang merupakan satu-satunya segi tiga bukan sama sisi yang mana segi empat sama terbesar yang muat di bahagian dalam boleh diletakkan dalam mana-mana tiga cara berbeza, adalah cakah dan sama kaki dengan sudut tapak 39.1320261...° dan sudut ketiga 101.7359477. . . °.

Segi tiga sama sisi dengan tiga sudut 60°, adalah tirus.

Segi tiga Morley, dibentuk daripada mana-mana segi tiga oleh persilangan trisektor sudut bersebelahan, adalah sama sisi, dan dengan itu bersifat tirus.

Segi tiga emas ialah segi tiga sama kaki di mana nisbah bahagian pendua ke bahagian tapak sama dengan nisbah emas. Ia adalah tirus, dengan sudut 36°, 72°, dan 72°, menjadikannya satu-satunya segi tiga dengan sudut dalam perkadaran 1:2:2.^[4]

Segi tiga heptagonal, dengan sisi bertepatan dengan sisi, pepenjuru yang lebih pendek, dan pepenjuru yang lebih panjang bagi heptagon sekata, adalah cakah, dengan sudut ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$ dan ${\displaystyle 4\pi /7.}$

Rujukan

1. Posamentier, Alfred S. and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
2. Oxman, Victor, and Stupel, Moshe. "Why are the side lengths of the squares inscribed in a triangle so close to each other?" Forum Geometricorum 13, 2013, 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html
3. Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, and Bogdan D. Suceava, "Gossard’s Perspector and Projective Consequences", Forum Geometricorum, Volume 13 (2013), 169–184.
4. Elam, Kimberly (2001). Geometry of Design. New York: Princeton Architectural Press. ISBN 1-56898-249-6.