Half-continuïteit

Het begrip half-continuïteit is zwakker dan het begrip continuïteit. Iedere continue functie is ook half-continu, maar het omgekeerde geldt niet. Een half-continue functie hoeft aan minder voorwaarden te voldoen dan een continue functie.

Een functie waarvoor het van belang is dat die half-continu is, is een functie met punten waarin de functiewaarde verspringt. Dat is hetzelfde als bij functies die linkscontinu of rechtscontinu zijn, maar de definitie is iets anders.

Definitie

Half-continue functie van boven

Half-continue functie van beneden

De dichte stippen horen tot de grafiek van de functie, de open stippen niet.

Laat ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ een open interval zijn en ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$.

De functie ${\displaystyle f}$ heet continu als voor iedere ${\displaystyle u\in I}$ en iedere ${\displaystyle \varepsilon >0}$ er een ${\displaystyle \delta >0}$ is zodanig dat voor ${\displaystyle x\in I}$ met ${\displaystyle |x-u|<\delta }$, geldt dat ${\displaystyle |f(x)-f(u)|<\varepsilon }$.

De functie ${\displaystyle f}$ heet half-continu van beneden als voor iedere ${\displaystyle u\in I}$ en iedere ${\displaystyle \varepsilon >0}$ er een ${\displaystyle \delta >0}$ is zodanig dat voor ${\displaystyle x\in I}$ met ${\displaystyle |x-u|<\delta }$, geldt dat ${\displaystyle f(x)-f(u)>-\varepsilon }$.

De functie ${\displaystyle f}$ heet half-continu van boven als voor iedere ${\displaystyle u\in I}$ en iedere ${\displaystyle \varepsilon >0}$ er een ${\displaystyle \delta >0}$ is zodanig dat voor ${\displaystyle x\in I}$ met ${\displaystyle |x-u|<\delta }$, geldt dat ${\displaystyle f(x)-f(u)<\varepsilon }$.

Topologie

Als ${\displaystyle X}$ een topologische ruimte is, dan is ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ half-continu van boven in ${\displaystyle u\in X}$, als er voor elke ${\displaystyle \epsilon >0}$ er een open verzameling ${\displaystyle U}$ bestaat die ${\displaystyle u}$ omvat zodanig dat ${\displaystyle f(x)-f(u)<\epsilon }$ voor elke ${\displaystyle x\in U}$. Een functie is half-continu van boven als hij half-continu van boven is in elk van de punten van zijn domein.

Voor de half-continuïteit van boven van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie worden gebruikt:

Als ${\displaystyle X}$ een topologische ruimte is, dan is ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ half-continu van boven, als ${\displaystyle \{x\in X:f(x)<a\}}$ open is voor elke ${\displaystyle a}$.

Als ${\displaystyle X}$ een topologische ruimte is, dan is ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ half-continu van beneden in ${\displaystyle u\in X}$, als er voor elke ${\displaystyle \epsilon >0}$ er een open verzameling ${\displaystyle U}$ bestaat die ${\displaystyle u}$ omvat zodanig dat ${\displaystyle -\epsilon <f(x)-f(u)}$ voor elke ${\displaystyle x\in U}$. Een functie is half-continu van beneden als hij half-continu van beneden is in elk van de punten van zijn definitiegebied.

Voor de half-continuïteit van beneden van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie worden gebruikt:

Als ${\displaystyle X}$ een topologische ruimte is, dan is ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ half-continu van beneden, als ${\displaystyle \{x\in X:f(x)>a\}}$ open is voor elke ${\displaystyle a}$.

Voorbeelden

Als ${\displaystyle D\subset I}$, dan is de indicatorfunctie ${\displaystyle 1_{D}:I\to \{0,1\}}$ dan en slechts dan half-continu van boven als ${\displaystyle D}$ gesloten is en half-continu van beneden als ${\displaystyle D}$ open is.

In het bijzonder is ${\displaystyle 1_{\{a\}}}$ half-continu van boven voor elk element ${\displaystyle a\in I}$. Deze functie is noch rechts-, noch linkscontinu in ${\displaystyle a}$.

Een ander bekend voorbeeld van een van boven half-continue functie is de entierfunctie ${\displaystyle x\mapsto [x]}$.

Eigenschappen

• Een functie is continu dan en slechts dan als hij zowel half-continu van boven als half-continu van beneden is.
• Als ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ half-continu zijn van beneden en ${\displaystyle \lambda \geq 0}$, dan zijn ${\displaystyle f+g}$ en ${\displaystyle \lambda f}$ half-continu van beneden.

Als bovendien ${\displaystyle f\geq 0,g\geq 0}$, dan is ook ${\displaystyle fg}$ half-continu van beneden.

• De uniforme limiet van een rij van beneden half-continue functies is zelf ook weer half-continu van beneden.
• Een van beneden half-continue functie is een puntsgewijze limiet van een stijgende rij continue functies
• Een van beneden half-continue functie gedefinieerd op een compacte verzameling heeft een minimum.
• De verzameling van van beneden half-continue functies is gesloten onder willekeurige suprema en eindige infima, dat wil zeggen

als ${\displaystyle S}$ een verzameling van van beneden half-continue functies is, en ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ zijn elementen van ${\displaystyle S}$, dan is ${\displaystyle x\mapsto \sup\{h(x):h\in S\}}$ half-continu van beneden evenals ${\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}}$

Dezelfde eigenschappen zijn er voor functies die half-continu zijn van boven. Bijvoorbeeld: De verzameling van van boven half-continue functies is gesloten onder willekeurige infima en eindige suprema.

Literatuur

• AC v Rooij en WH Schikhof. A Second Course on Real Functions, 1982. ISBN 0521283612