Harmonisch-delergetal

Een harmonisch-delergetal is een natuurlijk getal waarvan het harmonisch gemiddelde van de delers een geheel getal is. Men noemt zo een getal ook een Ore-getal of harmonisch getal van Ore, naar de Noorse wiskundige Øystein Ore (1899-1968) die het begrip definieerde.^[1] Ore noemde ze kortweg harmonische getallen. De harmonisch-delergetallen moeten niet met de bekende harmonische getallen worden verward.

De delers van het getal 6 bijvoorbeeld, zijn 1, 2, 3 en 6. Het harmonisch gemiddelde daarvan is:

${\displaystyle {\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}=2}$

Zes is dus een harmonisch-delergetal.

De eerste harmonisch-delergetallen zijn:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 (rij A001599 in OEIS).

Er zijn 45 harmonisch-delergetallen kleiner dan 10.000.000.^[2]

Voor een harmonisch-delergetal ${\displaystyle n}$ geldt, dat het rekenkundig gemiddelde van de delers van ${\displaystyle n}$ zelf een deler is van ${\displaystyle n}$; of anders gezegd: ${\displaystyle n}$ is een veelvoud van het rekenkundig gemiddelde van zijn delers. 140 bijvoorbeeld heeft twaalf delers: 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 en 140. De som daarvan is 336, en het gemiddelde (336/12) = 28 = 140/5.

Ore bewees, dat elk perfect getal een harmonisch-delergetal is. Het omgekeerde is echter niet waar: 140 bijvoorbeeld, is geen perfect getal.

Er zijn, behalve het triviale geval 1, geen oneven harmonisch-delergetallen bekend. Ore vermoedde, dat er behalve 1 geen oneven harmonisch-delergetallen bestaan.^[3] Als dit vermoeden bewezen kan worden, zou daaruit volgen dat er geen oneven perfecte getallen bestaan. Dit vermoeden is nog niet bewezen. Wel is reeds bekend dat alle harmonisch-delergetallen, waarvan het harmonisch gemiddelde kleiner is dan 300, even zijn;^[4] en het is bewezen dat een oneven harmonisch-delergetal in ieder geval deelbaar moet zijn door een priemgetal groter dan 100.000.^[5]

Bronnen, noten en/of referenties

1. (en) Øystein Ore in American Mathematical Monthly. On the averages of the divisors of a number, 1948. 55, 615-619 DOI:10.2307/2305616
2. (en) GL Cohen in Mathematics of Computation Numbers whose positive divisors have small integral harmonic mean, 1997. 66, 883-891
3. (en) MathWorld. Ore's Conjecture
4. (en) T Goto en S Shibata in Mathematics of Computation. All numbers whose positive divisors have integral harmonic mean up to 300, 2004. 73, 475-491
5. (en) Yusuke Chishiki, Takeshi Goto en Yasuo Ohno in Mathematics of Computation. On the largest prime divisor of an odd harmonic number, 2007. 76, 1577-1587