Leylandgetal

Een leylandgetal in de getaltheorie is een getal van de vorm

${\displaystyle x^{y}+y^{x}}$

waar x en y gehele getallen groter dan 1 zijn.^[1] Ze zijn vernoemd naar de wiskundige Paul Leyland. De eerste leylandgetallen zijn

8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124 (rij A076980 in OEIS).

De eis dat x en y beide groter dan 1 zijn is belangrijk, omdat anders elk positief getal een leylandgetal zou zijn van de vorm x¹ + 1^x. Daarnaast wordt meestal, vanwege de commutativiteit van optellen, de eis x ≥ y toegevoegd, om te voorkomen dat elk leylandgetal op twee manieren beschreven kan worden (er geldt dus 1 < y ≤ x).

Leylandpriemgetallen

Een leylandpriemgetal is een leylandgetal dat ook een priemgetal is. De eerste leylandpriemgetallen zijn:

17, 593, 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193, ... (rij A094133 in OEIS)

welke overeenkomen met

3²+2³, 9²+2⁹, 15²+2¹⁵, 21²+2²¹, 33²+2³³, 24⁵+5²⁴, 56³+3⁵⁶, 32¹⁵+15³².^[2]

Men kan ook de waarde voor y vast zetten en de rij van x-waarden beschouwen die leylandpriemgetallen geeft. Zo is bijvoorbeeld x² + 2^x priem voor x = 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759, ... (rij A064539 in OEIS).

Leylandgetallen van de tweede soort

Een leylandgetal van de tweede soort is een getal van de vorm

${\displaystyle x^{y}-y^{x}}$

waar x en y gehele getallen groter dan 1 zijn.

Een leylandpriemgetal van de tweede soort is een leylandgetal van de tweede soort dat ook priemgetal is. De eerste van zulke priemgetallen zijn:

7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, 8375575711, 13055867207, 83695120256591, 375700268413577, 2251799813682647, ... (rij A123206 in OEIS)

Referenties

1. Richard Crandall en Carl Pomerance: Prime Numbers: A Computational Perspective (Springer, 2005)
2. Primes and Strong Pseudoprimes of the form x^y + y^x. Paul Leyland. Gearchiveerd op 10 februari 2007. Geraadpleegd op 14 januari 2007.

• Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Leyland number op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.