Normalisator

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde is een normalisator een speciale ondergroep ${\displaystyle N_{G}(H)}$ van een groep ${\displaystyle G}$ die hoort bij een ondergroep ${\displaystyle H}$. De normalisator ${\displaystyle N_{G}(H)}$ is de ondergroep van ${\displaystyle G}$ die bestaat uit de elementen van ${\displaystyle G}$ waarvoor linker- en rechternevenklasse van ${\displaystyle H}$ aan elkaar gelijk zijn. Duidelijk is dat de ondergroep ${\displaystyle H}$ ook een ondergroep is van z'n normalisator. Het blijkt dat ${\displaystyle H}$ zelfs normaaldeler is van de normalisator ${\displaystyle N_{G}(H)}$.

Definitie

Zij ${\displaystyle G}$ een groep en ${\displaystyle H}$ een ondergroep van ${\displaystyle G}$, dan is de normalisator ${\displaystyle N_{G}(H)}$ van ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ de verzameling van alle ${\displaystyle g\in G}$, waarvoor geldt dat:

${\displaystyle gH=Hg}$,

of anders geformuleerd: voor alle ${\displaystyle h\in H}$ is

${\displaystyle ghg^{-1}\in H}$

Met andere woorden de normalisator bestaat uit die ${\displaystyle g\in G}$ waarvoor geldt dat ${\displaystyle H}$ onder conjugatie met ${\displaystyle g}$ invariant is.

Er wordt dus niet geëist voor ${\displaystyle h\in H}$ dat ${\displaystyle ghg^{-1}=h}$, oftewel ${\displaystyle gh=hg}$ d.w.z. dat ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle h}$ commuteren. In veel gevallen zal dat ook niet waar zijn.

Eigenschappen

• De normalisator is een ondergroep van ${\displaystyle G}$.
• Een ondergroep ${\displaystyle H}$ is altijd een normaaldeler in haar normalisator ${\displaystyle N_{G}(H)}$. Preciezer geformuleerd: ${\displaystyle N_{G}(H)}$ is de grootste ondergroep van ${\displaystyle G}$ waarin ${\displaystyle H}$ een normaaldeler is.
• Een ondergroep is precies dan een normaaldeler in ${\displaystyle G}$ wanneer haar normalisator de gehele groep ${\displaystyle G}$ is.
• Men kan de normalisator ook als volgt introduceren:
  men laat de groep ${\displaystyle G}$ op de verzameling van zijn ondergroepen werken door conjugatie, dan is de stabilisator van een gegeven ondergroep voor deze werking precies de normalisator van deze ondergroep.

Voorbeeld

Zij ${\displaystyle G}$ de groep van inverteerbare ${\displaystyle n\times n}$-matrices (met reële coëfficiënten) voor een natuurlijk getal ${\displaystyle n}$. Zij ${\displaystyle H}$ verder de ondergroep van de diagonaalmatrices. Dan is de normalisator van ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ de groep van matrices waar in elke rij en in elke kolom precies één invoerwaarde ongelijk is aan nul. Het quotiënt ${\displaystyle N_{G}(H)/H}$ is isomorf met de symmetrische groep ${\displaystyle S_{n}}$.

Verwante begrippen

Vereist men dat ${\displaystyle H}$ per element invariant is onder de conjugatie met groepselementen, dan verkrijgt men het sterkere begrip van de centralisator ${\displaystyle C_{G}(H)}$. De centralisator is in de desbetreffende normalisator een normaaldeler.